Найдите площадь квадрата, изображенного на рисунке.

На рисунке два равных круга радиуса R = 5 , касающиеся друг друга и общей горизонтальной прямой. В «лунке» между кругами и этой прямой вписан квадрат со стороной a , верхние вершины которого лежат на окружностях. Выберем систему координат так, чтобы прямая совпала с осью Ox , а точка касания окружностей друг с другом проектировалась в начало координат. Тогда центры окружностей: (-R;R) и (R;R) . По симметрии квадрат расположен симметрично относительно оси Oy : его вершины — (+-(a)/(2);0) (на прямой) и (+-(a)/(2);a) (на окружностях). Условие «верхняя правая вершина лежит на правой окружности» (x - R)^2 + (y - R)^2 = R^2 : ((a)/(2) - R)^2 + (a - R)^2 = R^2. Подставим R = 5 и раскроем скобки: (a^2)/(4) - 5a + 25 + a^2 - 10a + 25 = 25 => (5a^2)/(4) - 15a + 25 = 0. Умножив на (4)/(5) , получим a^2 - 12a + 20 = 0 => a = (12 +- sqrt(144 - 80))/(2) = (12 +- 8)/(2) in 2;10. Значение a = 10 не подходит геометрически (квадрат не помещается в «лунке»), поэтому a = 2 . Площадь: S = a^2 = 4. Ответ: 4.

4