Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
1
Геометрия
Ларин
Найдите площадь квадрата, изображенного на рисунке.
На рисунке два равных круга радиуса R=5, касающиеся друг друга и общей горизонтальной прямой. В «лунке» между кругами и этой прямой вписан квадрат со стороной a, верхние вершины которого лежат на окружностях.
Выберем систему координат так, чтобы прямая совпала с осью Ox, а точка касания окружностей друг с другом проектировалась в начало координат. Тогда центры окружностей: (−R;R) и (R;R). По симметрии квадрат расположен симметрично относительно оси Oy: его вершины — (±2a;0) (на прямой) и (±2a;a) (на окружностях).
Условие «верхняя правая вершина лежит на правой окружности» (x−R)2+(y−R)2=R2:
(2a−R)2+(a−R)2=R2.Подставим R=5 и раскроем скобки:
4a2−5a+25+a2−10a+25=25⇒45a2−15a+25=0.Умножив на 54, получим
a2−12a+20=0⇒a=212±144−80=212±8∈{2;10}.Значение a=10 не подходит геометрически (квадрат не помещается в «лунке»), поэтому a=2. Площадь:
S=a2=4.Ответ: 4.