Задача №16825

Найдите точку максимума функции $y=(x-3)\cdot e^{|x+1|}\text{.}$

Область определения функции: $D(y)=\mathbb{R}\text{.}$

1. Случай $x⩽-1\text{:}$

Производная $y^{\prime }=0$ при $x=4\notin (-\infty ;-1]\text{.}$ На промежутке $(-\infty ;-1]$ имеем $y^{\prime }>0\text{,}$ функция возрастает.

2. Случай $x⩾-1\text{:}$

Производная $y^{\prime }=0$ при $x=2\text{.}$ При $x\in [-1;2)$ имеем $y^{\prime }<0$ (функция убывает), а при $x\in (2;+\infty )$ имеем $y^{\prime }>0$ (функция возрастает).

Значения функции: $y(-1)=-4\cdot e^0=-4\text{,}$ $y(2)=-e^3<-4\text{.}$ В точке $x=-1$ достигается локальный максимум, причём $y(-1)=-4$ — наибольшее значение функции на всей области определения.

Ответ: $-1\text{.}$