Задача №16824

Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC\text{,}$ а $BH$ — высота этого треугольника.

а) Докажите, что биссектриса угла $B$ является также биссектрисой угла $OBH\text{.}$
б) Найдите площадь треугольника $ABC\text{,}$ если $\angle B=90^{\circ }\text{,}$ высота $BH=\frac{120}{13}$ и биссектриса $BL=\frac{120\sqrt{2}}{17}\text{.}$

а) Пусть $\angle ABL=\angle CBL=\beta$ ($BL$ — биссектриса угла $B$). Обозначим $\angle HBL=\alpha \text{,}$ $\angle OBL=x\text{.}$ Нужно доказать, что $\alpha =x\text{.}$

Продлим $BO$ до пересечения с описанной окружностью в точке $K\text{;}$ тогда $BK$ — диаметр, и $\angle BCK=90^{\circ }$ (вписанный угол, опирающийся на диаметр).

Прямоугольные треугольники $△ABH$ ($\angle AHB=90^{\circ }$) и $△KBC$ ($\angle BCK=90^{\circ }$) подобны: вписанные углы $\angle BAC$ и $\angle BKC$ опираются на общую дугу $BC\text{,}$ поэтому $\angle BAH=\angle BKC\text{.}$ Значит, $\angle ABH=\angle KBC\text{.}$

С одной стороны, $\angle ABH=\beta -\alpha \text{.}$ С другой стороны, $\angle KBC=\beta -x$ (поскольку $O$ лежит на $BK\text{,}$ и $\angle OBC=x$). Получаем $\beta -\alpha =\beta -x\text{,}$ откуда $\alpha =x\text{.}$ Значит, $BL$ — биссектриса угла $OBH\text{,}$ что и требовалось доказать.

б) Дано: $\angle B=90^{\circ }\text{,}$ $BH=\frac{120}{13}\text{,}$ $BL=\frac{120\sqrt{2}}{17}\text{.}$

Поскольку $\angle B=90^{\circ }\text{,}$ отрезок $AC$ — диаметр описанной окружности; центр $O$ лежит на $AC\text{,}$ и $BO=R\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $△BHL$ ($\angle BHL=90^{\circ }$):

$$\cos \alpha =\frac{BH}{BL}=\frac{120/13}{120\sqrt{2}/17}=\frac{17}{13\sqrt{2}}.$$

Тогда ${\cos }^2\alpha =\frac{17^2}{13^2\cdot 2}=\frac{289}{338}\text{,}$ и

$$\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=\frac{289}{169}-1=\frac{120}{169}.$$

По доказанному в пункте а, $\angle OBH=2\alpha \text{.}$ В прямоугольном треугольнике $△BHO$ ($\angle BHO=90^{\circ }$):

$$\cos 2\alpha =\frac{BH}{BO}\Rightarrow BO=\frac{BH}{\cos 2\alpha }=\frac{120/13}{120/169}=\frac{120\cdot 169}{13\cdot 120}=13.$$

Таким образом, $R=13\text{,}$ $AC=2R=26\text{,}$ и

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 26\cdot \frac{120}{13}=120.$$

Ответ: 120.