Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC , а BH — высота этого треугольника. а) Докажите, что биссектриса угла B является также биссектрисой угла OBH . б) Найдите площадь треугольника ABC , если B = 90^ , высота BH = (120)/(13) и биссектриса BL = (120sqrt(2))/(17) .

а) Пусть ABL = CBL = beta ( BL — биссектриса угла B ). Обозначим HBL = alpha , OBL = x . Нужно доказать, что alpha = x . Продлим BO до пересечения с описанной окружностью в точке K ; тогда BK — диаметр, и BCK = 90^ (вписанный угол, опирающийся на диаметр). Прямоугольные треугольники ABH ( AHB = 90^ ) и KBC ( BCK = 90^ ) подобны: вписанные углы BAC и BKC опираются на общую дугу BC , поэтому BAH = BKC . Значит, ABH = KBC . С одной стороны, ABH = beta - alpha . С другой стороны, KBC = beta - x (поскольку O лежит на BK , и OBC = x ). Получаем beta - alpha = beta - x , откуда alpha = x . Значит, BL — биссектриса угла OBH , что и требовалось доказать. б) Дано: B = 90^ , BH = (120)/(13) , BL = (120sqrt(2))/(17) . Поскольку B = 90^ , отрезок AC — диаметр описанной окружности; центр O лежит на AC , и BO = R . В прямоугольном треугольнике BHL ( BHL = 90^ ): = (BH)/(BL) = (120/13)/(120sqrt(2)/17) = (17)/(13sqrt(2)). Тогда cos^2alpha = (17^2)/(13^2 * 2) = (289)/(338) , и cos 2alpha = 2cos^2alpha - 1 = (289)/(169) - 1 = (120)/(169). По доказанному в пункте а, OBH = 2alpha . В прямоугольном треугольнике BHO ( BHO = 90^ ): cos 2alpha = (BH)/(BO) => BO = (BH)/(cos 2alpha) = (120/13)/(120/169) = (120 * 169)/(13 * 120) = 13. Таким образом, R = 13 , AC = 2R = 26 , и S_(ABC) = (1)/(2) * AC * BH = (1)/(2) * 26 * (120)/(13) = 120. Ответ: 120.

$120$