Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 12, а угол между боковой гранью и основанием равен 45^ . Найдите объём пирамиды.

Пусть S — вершина пирамиды, O — центр правильного шестиугольника основания со стороной a = 12 , E — середина одной из его сторон. Тогда H = SO — высота пирамиды, а SEO = 45^ — угол между боковой гранью и основанием. Апофема правильного шестиугольника основания: OE = (asqrt(3))/(2) = 6sqrt(3). Из прямоугольного треугольника SOE : H = OE * tg 45^ = 6sqrt(3). Площадь правильного шестиугольника со стороной a = 12 : S_(осн) = 6 * (a^2sqrt(3))/(4) = 6 * (144sqrt(3))/(4) = 216sqrt(3). Объём пирамиды: V = (1)/(3) * S_(осн) * H = (1)/(3) * 216sqrt(3) * 6sqrt(3) = (1)/(3) * 216 * 6 * 3 = 1296. Ответ: 1296

1296