Найдите все возможные значения параметра a , при каждом из которых система уравнений cases ((y^2-xy+4x-7y+12)sqrt(x+5))/(sqrt(5-x))=0, |x|+|y|-a=0 cases имеет ровно два различных решения.

Решение. Первое уравнение системы. ОДЗ: -5 x < 5 . Числитель раскладывается: y^2 - xy + 4x - 7y + 12 как квадратный трёхчлен по y имеет дискриминант (x+7)^2 - 4(4x+12) = (x-1)^2 , корни y = x + 3 и y = 4 : y^2 - xy + 4x - 7y + 12 = (y - (x+3))(y - 4). Первое уравнение зануляется при: 1. sqrt(x+5) = 0 , т. е. x = -5 (любое y ); 2. y = x + 3 , -5 x < 5 ; 3. y = 4 , -5 x < 5 . Обозначим эти три множества: A = x = -5 (вертикальная прямая в полосе ОДЗ), B = y = x + 3;-5 x < 5 , C = y = 4;-5 x < 5 . Второе уравнение |x| + |y| = a — ромб с вершинами (+- a; 0) , (0; +- a) при a > 0 . Подсчёт точек пересечения с каждым из множеств: A n ромб : |y| = a - 5 . Получаем 0 точек при a < 5 , 1 точку при a = 5 , 2 точки при a > 5 . B n ромб : |x| + |x+3| = a при -5 x < 5 . — На [0; 5) : 2x + 3 = a , x = (a-3)/2 , годен при 3 a < 13 . — На [-3; 0) : тождество 3 = a (только при a = 3 — целый отрезок). — На [-5; -3) : -2x - 3 = a , x = -(a+3)/2 , годен при 3 < a 7 . C n ромб : |x| = a - 4 . — 0 точек при a < 4 ; — 1 точка при a = 4 (точка (0; 4) ); — 2 точки при 4 < a < 9 (точки (+-(a-4); 4) ); — 1 точка при a = 9 (только x = -5 , поскольку x = 5 исключено); — 0 точек при a > 9 . Точки совпадения трёх семейств: A n B = (-5; -2) (на ромбе при a = 7 ); A n C = (-5; 4) (при a = 9 ); B n C = (1; 4) (при a = 5 ). Подсчёт по интервалам a (с учётом совпадений): | a | Всего различных решений | |---|---| | 0 a < 3 | 0 | | a = 3 | inf (целый отрезок B ) | | 3 < a < 4 | **2** | | a = 4 | 3 | | 4 < a < 5 | 4 | | a = 5 | 4 (одно совпадение B n C ) | | 5 < a < 7 | 6 | | a = 7 | 5 (одно совпадение A n B ) | | 7 < a < 9 | 5 | | a = 9 | 3 (одно совпадение A n C ) | | 9 < a < 13 | 3 | | a = 13 | **2** ( x = 5 исключено в B ) | | a > 13 | **2** (только A работает) | Ровно два решения система имеет при a in (3; 4) U [13; +inf) . Ответ: a in (3; 4) U [13; +inf) .

$a \in (3;\,4) \cup [13;\,+\infty)$