Задача №16820

Найдите все возможные значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых система уравнений

$$\{\begin{array}{l}\frac{(y^2-xy+4x-7y+12)\sqrt{x+5}}{\sqrt{5-x}}=0,\\ |x|+|y|-a=0\end{array}$$

имеет ровно два различных решения.

Решение.

Первое уравнение системы. ОДЗ: $-5⩽x<5\text{.}$

Числитель раскладывается: $y^2-xy+4x-7y+12$ как квадратный трёхчлен по $y$ имеет дискриминант $(x+7{)}^2-4(4x+12)=(x-1{)}^2\text{,}$ корни $y=x+3$ и $y=4\text{:}$

$$y^2-xy+4x-7y+12=(y-(x+3))(y-4).$$

Первое уравнение зануляется при:

1. $\sqrt{x+5}=0\text{,}$ т. е. $x=-5$ (любое $y$);
2. $y=x+3\text{,}$ $-5⩽x<5\text{;}$
3. $y=4\text{,}$ $-5⩽x<5\text{.}$

Обозначим эти три множества: $A=\{x=-5\}$ (вертикальная прямая в полосе ОДЗ), $B=\{y=x+3;-5⩽x<5\}\text{,}$ $C=\{y=4;-5⩽x<5\}\text{.}$

Второе уравнение $|x|+|y|=a$ — ромб с вершинами $(\pm a;0)\text{,}$ $(0;\pm a)$ при $a>0\text{.}$

Подсчёт точек пересечения с каждым из множеств:

$A\cap \text{ромб}\text{:}$ $|y|=a-5\text{.}$ Получаем 0 точек при $a<5\text{,}$ 1 точку при $a=5\text{,}$ 2 точки при $a>5\text{.}$

$B\cap \text{ромб}\text{:}$ $|x|+|x+3|=a$ при $-5⩽x<5\text{.}$
— На $[0;5)\text{:}$ $2x+3=a\text{,}$ $x=(a-3)/2\text{,}$ годен при $3⩽a<13\text{.}$
— На $[-3;0)\text{:}$ тождество $3=a$ (только при $a=3$ — целый отрезок).
— На $[-5;-3)\text{:}$ $-2x-3=a\text{,}$ $x=-(a+3)/2\text{,}$ годен при $3<a⩽7\text{.}$

$C\cap \text{ромб}\text{:}$ $|x|=a-4\text{.}$
— 0 точек при $a<4\text{;}$
— 1 точка при $a=4$ (точка $(0;4)$);
— 2 точки при $4<a<9$ (точки $(\pm (a-4);4)$);
— 1 точка при $a=9$ (только $x=-5\text{,}$ поскольку $x=5$ исключено);
— 0 точек при $a>9\text{.}$

Точки совпадения трёх семейств: $A\cap B=\{(-5;-2)\}$ (на ромбе при $a=7$); $A\cap C=\{(-5;4)\}$ (при $a=9$); $B\cap C=\{(1;4)\}$ (при $a=5$).

Подсчёт по интервалам $a$ (с учётом совпадений):

Ровно два решения система имеет при $a\in (3;4)\cup [13;+\infty )\text{.}$

Ответ: $a\in (3;4)\cup [13;+\infty )\text{.}$