На доске написали несколько необязательно различных трёхзначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и третью цифры (например, число 123 заменили на число 321). а) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел? б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза меньше, чем сумма исходных чисел? в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел. Проверьте, чтобы каждый ответ был записан рядом с номером соответствующего задания.

Обозначим: X — сумма цифр сотен всех чисел, Y — сумма цифр десятков, Z — сумма цифр единиц. Сумма исходных чисел: S_(исх) = 100X + 10Y + Z = 2970. Сумма получившихся чисел: S_(нов) = 100Z + 10Y + X. Разность этих сумм: S_(нов) - S_(исх) = 99(Z - X). Из уравнения для исходной суммы следует, что 100X < 2970 , то есть X 29 . Также 100X + 10Y + Z = 2970 означает, что Z === 0 +-od10 . Поскольку в записи чисел нет нулей, Z > 0 , следовательно, Z 10 . а) Если S_(нов) = (S_(исх))/(3) = 990 , то: 99(Z - X) = 990 - 2970 = -1980. Откуда X - Z = 20 . Так как Z 10 , получаем X = Z + 20 10 + 20 = 30 . Это противоречит условию X 29 . Значит, сумма не могла уменьшиться в 3 раза. б) Если S_(нов) = (S_(исх))/(2) = 1485 , то: 99(Z - X) = 1485 - 2970 = -1485. Откуда X - Z = 15 , или X = Z + 15 . Подставим это выражение в формулу исходной суммы: 100(Z + 15) + 10Y + Z = 2970 => 101Z + 10Y = 1470. При Z = 10 получаем 10Y = 460 , то есть Y = 46 . Тогда X = 10 + 15 = 25 . Пример для 10 чисел: 251, 251, 251, 251, 251, 351, 351, 351, 331, 331. Проверка исходной суммы: 5 * 251 + 3 * 351 + 2 * 331 = 1255 + 1053 + 662 = 2970. После замены первой и третьей цифр: 5 * 152 + 3 * 153 + 2 * 133 = 760 + 459 + 266 = 1485. в) Чтобы минимизировать S_(нов) = 100Z + 10Y + X , нужно выбрать минимально возможное Z . Как было показано выше, Z = 10 . При Z = 10 имеем 100X + 10Y = 2960 , или 10X + Y = 296 . Выразим Y = 296 - 10X и подставим в выражение для новой суммы: S_(нов) = 100 * 10 + 10(296 - 10X) + X = 1000 + 2960 - 100X + X = 3960 - 99X. Для нахождения минимума S_(нов) необходимо максимизировать X . С учетом X 29 , возьмём X = 29 . Тогда Y = 296 - 290 = 6 . Вычислим значение: S_(нов) = 3960 - 99 * 29 = 1089. Для реализации X = 29 при Y = 6 нужно, чтобы количество чисел было не более 6, но сумма сотен 29 требует как минимум 4 числа (так как 9 * 3 = 27 < 29 ). Пример для 4 чисел: 911, 911, 911, 237 . S_(исх) = 911 * 3 + 237 = 2733 + 237 = 2970. S_(нов) = 119 * 3 + 732 = 357 + 732 = 1089. Ответ: а) нет б) да в) 1089

А) нет; Б) да; В) $1089$.