Задача №16816

На доске написали несколько необязательно различных трёхзначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и третью цифры (например, число 123 заменили на число 321).

а) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел?
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Проверьте, чтобы каждый ответ был записан рядом с номером соответствующего задания.

Обозначим: $X$ — сумма цифр сотен всех чисел, $Y$ — сумма цифр десятков, $Z$ — сумма цифр единиц.

Сумма исходных чисел:

$$S_{\text{исх}}=100X+10Y+Z=2970.$$

Сумма получившихся чисел:

$$S_{\text{нов}}=100Z+10Y+X.$$

Разность этих сумм:

$$S_{\text{нов}}-S_{\text{исх}}=99(Z-X).$$

Из уравнения для исходной суммы следует, что $100X<2970\text{,}$ то есть $X⩽29\text{.}$ Также $100X+10Y+Z=2970$ означает, что $Z\equiv 0(\mathrm{mod}10)\text{.}$ Поскольку в записи чисел нет нулей, $Z>0\text{,}$ следовательно, $Z⩾10\text{.}$

а) Если $S_{\text{нов}}=\frac{S_{\text{исх}}}{3}=990\text{,}$ то:

$$99(Z-X)=990-2970=-1980.$$

Откуда $X-Z=20\text{.}$ Так как $Z⩾10\text{,}$ получаем $X=Z+20⩾10+20=30\text{.}$ Это противоречит условию $X⩽29\text{.}$ Значит, сумма не могла уменьшиться в 3 раза.

б) Если $S_{\text{нов}}=\frac{S_{\text{исх}}}{2}=1485\text{,}$ то:

$$99(Z-X)=1485-2970=-1485.$$

Откуда $X-Z=15\text{,}$ или $X=Z+15\text{.}$ Подставим это выражение в формулу исходной суммы:

$$100(Z+15)+10Y+Z=2970\Rightarrow 101Z+10Y=1470.$$

При $Z=10$ получаем $10Y=460\text{,}$ то есть $Y=46\text{.}$ Тогда $X=10+15=25\text{.}$

Пример для 10 чисел:

$$\{251,251,251,251,251,351,351,351,331,331\}.$$

Проверка исходной суммы:

$$5\cdot 251+3\cdot 351+2\cdot 331=1255+1053+662=2970.$$

После замены первой и третьей цифр:

$$5\cdot 152+3\cdot 153+2\cdot 133=760+459+266=1485.$$

в) Чтобы минимизировать $S_{\text{нов}}=100Z+10Y+X\text{,}$ нужно выбрать минимально возможное $Z\text{.}$ Как было показано выше, $Z=10\text{.}$

При $Z=10$ имеем $100X+10Y=2960\text{,}$ или $10X+Y=296\text{.}$ Выразим $Y=296-10X$ и подставим в выражение для новой суммы:

$$S_{\text{нов}}=100\cdot 10+10(296-10X)+X=1000+2960-100X+X=3960-99X.$$

Для нахождения минимума $S_{\text{нов}}$ необходимо максимизировать $X\text{.}$ С учетом $X⩽29\text{,}$ возьмём $X=29\text{.}$ Тогда $Y=296-290=6\text{.}$

Вычислим значение:

$$S_{\text{нов}}=3960-99\cdot 29=1089.$$

Для реализации $X=29$ при $Y=6$ нужно, чтобы количество чисел было не более 6, но сумма сотен 29 требует как минимум 4 числа (так как $9\cdot 3=27<29$).

Пример для 4 чисел: $\{911,911,911,237\}\text{.}$

$$S_{\text{исх}}=911\cdot 3+237=2733+237=2970.$$ $$S_{\text{нов}}=119\cdot 3+732=357+732=1089.$$

Ответ:

а) нет

б) да

в) 1089