Задача №16814

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых система уравнений

$$\{\begin{array}{l}3|x+1|-|x-2|+4|x-3|=13,\\ x^2-2(a+1)x+a(a+2)=0\end{array}$$

имеет ровно два различных решения.

Решим первое уравнение системы: $3|x+1|-|x-2|+4|x-3|=13\text{.}$

Нули подмодульных выражений: $-1;2;3\text{.}$ Раскроем модули на каждом промежутке:

1. $x<-1\text{:}$
$-3(x+1)+(x-2)-4(x-3)=13\iff -6x+7=13\iff x=-1\text{.}$
Значение не удовлетворяет условию $x<-1\text{.}$ Решений на данном промежутке нет.

2. $-1⩽x⩽2\text{:}$
$3(x+1)+(x-2)-4(x-3)=13\iff 13=13\text{.}$
Все $x\in [-1;2]$ — решения.

3. $2<x<3\text{:}$
$3(x+1)-(x-2)-4(x-3)=13\iff -2x+17=13\iff x=2\text{.}$
Значение не входит в интервал. Решений нет.

4. $x⩾3\text{:}$
$3(x+1)-(x-2)+4(x-3)=13\iff 6x-7=13\iff x=\frac{10}{3}\text{.}$
Значение удовлетворяет условию $x⩾3\text{.}$

Множество решений первого уравнения: $M=[-1;2]\cup \left\{\frac{10}{3}\right\}\text{.}$

Рассмотрим второе уравнение: $x^2-2(a+1)x+a(a+2)=0\text{.}$

По обратной теореме Виета (сумма корней $2(a+1)\text{,}$ произведение $a(a+2)$) корни уравнения: $x_1=a$ и $x_2=a+2\text{.}$ Поскольку $a+2\ne a\text{,}$ корни всегда различны.

Система имеет ровно два различных решения, если оба корня уравнения принадлежат множеству $M\text{.}$ Так как $a+2>a\text{,}$ разберем возможные случаи:

1. Оба корня лежат в отрезке $[-1;2]\text{:}$

$$\{\begin{array}{l}-1⩽a⩽2,\\ -1⩽a+2⩽2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-1⩽a⩽2,\\ -3⩽a⩽0\end{array}\iff -1⩽a⩽0.$$

2. Больший корень равен $\frac{10}{3}\text{,}$ а меньший принадлежит отрезку $[-1;2]\text{:}$
$a+2=\frac{10}{3}\Rightarrow a=\frac{4}{3}\text{.}$
Проверим меньший корень: $a=\frac{4}{3}\in [-1;2]\text{.}$ Значит, $a=\frac{4}{3}$ подходит.

3. Меньший корень равен $\frac{10}{3}\text{:}$
$a=\frac{10}{3}\text{.}$ Тогда больший корень $a+2=\frac{10}{3}+2=\frac{16}{3}\text{.}$ Значение $\frac{16}{3}\notin M\text{,}$ следовательно, этот случай не даёт нужного количества решений.

Объединяя результаты, получаем: $a\in [-1;0]\cup \left\{\frac{4}{3}\right\}\text{.}$

Ответ: $a\in [-1;0]\cup \left\{\frac{4}{3}\right\}\text{.}$