Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений cases 3|x+1| - |x-2| + 4|x-3| = 13, x^(2) - 2(a+1)x + a(a+2) = 0 cases имеет ровно два различных решения.

Решим первое уравнение системы: 3|x+1| - |x-2| + 4|x-3| = 13 . Нули подмодульных выражений: -1; 2; 3 . Раскроем модули на каждом промежутке: 1. x < -1 : -3(x+1) + (x-2) - 4(x-3) = 13 <=> -6x + 7 = 13 <=> x = -1 . Значение не удовлетворяет условию x < -1 . Решений на данном промежутке нет. 2. -1 x 2 : 3(x+1) + (x-2) - 4(x-3) = 13 <=> 13 = 13 . Все x in [-1; 2] — решения. 3. 2 < x < 3 : 3(x+1) - (x-2) - 4(x-3) = 13 <=> -2x + 17 = 13 <=> x = 2 . Значение не входит в интервал. Решений нет. 4. x 3 : 3(x+1) - (x-2) + 4(x-3) = 13 <=> 6x - 7 = 13 <=> x = (10)/(3) . Значение удовлетворяет условию x 3 . Множество решений первого уравнения: M = [-1; 2] U (10)/(3) . Рассмотрим второе уравнение: x^(2) - 2(a+1)x + a(a+2) = 0 . По обратной теореме Виета (сумма корней 2(a+1) , произведение a(a+2) ) корни уравнения: x_1 = a и x_2 = a + 2 . Поскольку a + 2 != a , корни всегда различны. Система имеет ровно два различных решения, если оба корня уравнения принадлежат множеству M . Так как a + 2 > a , разберем возможные случаи: 1. Оба корня лежат в отрезке [-1; 2] : cases -1 a 2, -1 a+2 2 cases <=> cases -1 a 2, -3 a 0 cases <=> -1 a 0. 2. Больший корень равен (10)/(3) , а меньший принадлежит отрезку [-1; 2] : a + 2 = (10)/(3) => a = (4)/(3) . Проверим меньший корень: a = (4)/(3) in [-1; 2] . Значит, a = (4)/(3) подходит. 3. Меньший корень равен (10)/(3) : a = (10)/(3) . Тогда больший корень a + 2 = (10)/(3) + 2 = (16)/(3) . Значение (16)/(3) not in M , следовательно, этот случай не даёт нужного количества решений. Объединяя результаты, получаем: a in [-1; 0] U (4)/(3) . Ответ: a in [-1; 0] U (4)/(3) .

$a \in [-1;\,0] \cup \left\{\dfrac{4}{3}\right\}$