Задача №16813

Решите уравнение ${\log }_4(2^{4x}-3\cdot 2^{2x})=x\text{.}$

По определению логарифма ОДЗ: $2^{4x}-3\cdot 2^{2x}>0\text{.}$ Заметим, что $2^{4x}-3\cdot 2^{2x}=2^{2x}(2^{2x}-3)\text{,}$ и так как $2^{2x}>0\text{,}$ условие сводится к $2^{2x}>3\text{.}$

Из уравнения:

Замена $t=2^{2x}>0\text{:}$

Корни $t=0$ (не подходит) и $t=4\text{.}$

Обратная замена: $2^{2x}=4=2^2\text{,}$ откуда $x=1\text{.}$

Проверим ОДЗ: $2^{2\cdot 1}=4>3\text{.}$ Условие выполнено.

Ответ: 1.