Задача №16812

Решите неравенство
${\left(\sqrt{17}-4\right)}^{\sqrt{x+3}}\cdot {\left(\sqrt{17}+4\right)}^{|x+3|-2}⩾1\text{.}$

ОДЗ: $x+3⩾0\text{,}$ то есть $x⩾-3\text{.}$ Тогда $|x+3|=x+3\text{,}$ и $|x+3|-2=x+1\text{.}$ Неравенство принимает вид

Заметим, что

Значит,

Так как основание $\sqrt{17}+4>1\text{,}$ показательная функция возрастает, и неравенство равносильно $\sqrt{x+3}⩽x+1\text{.}$

Это эквивалентно системе

Корни уравнения $x^2+x-2=0\text{:}$ $x=-2$ и $x=1\text{.}$ Решение второго неравенства: $x⩽-2$ или $x⩾1\text{.}$

Пересечение с условием $x⩾-1$ и ОДЗ $x⩾-3$ даёт $x⩾1\text{.}$

Ответ: $x\in [1;+\infty )\text{.}$