Задача №16807

а) Решите уравнение
$\sin 3x-3\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=4\text{.}$

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку
$[-\pi ;\pi ]\text{.}$

а) Левая часть уравнения $\sin 3x-3\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ не превосходит $1-3\cdot (-1)=4\text{,}$ так как $|\sin \alpha |⩽1$ и $|\cos \alpha |⩽1\text{.}$ Равенство достигается тогда и только тогда, когда оба слагаемых принимают свои экстремальные значения:

$$\{\begin{array}{l}\sin 3x=1,\\ \cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=-1.\end{array}$$

Решим систему уравнений:

$$\{\begin{array}{l}3x=\frac{\pi }{2}+2\pi n,\\ x+\frac{\pi }{6}=\pi +2\pi k;\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi n}{3},\\ x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,\end{array}n,k\in \mathbb{Z}.$$

Приравняем значения $x\text{:}$

$$\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi n}{3}=\frac{5\pi }{6}+2\pi k.$$

Разделим обе части на $\frac{2\pi }{3}\text{:}$

$$\frac{1}{4}+n=\frac{5\text{4}}{+}3k\Rightarrow n=1+3k,k\in \mathbb{Z}.$$

Подставим полученное выражение для $n$ в первую серию решений:

$$x=\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{3}(1+3k)=\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{3}+2\pi k=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $[-\pi ;\pi ]\text{,}$ с помощью перебора значений $k\in \mathbb{Z}\text{:}$

1. При $k=0\text{:}$ $x=\frac{5\pi }{6}\in [-\pi ;\pi ]\text{.}$

2. При $k=-1\text{:}$ $x=\frac{5\pi }{6}-2\pi =-\frac{7\pi }{6}\notin [-\pi ;\pi ]\text{.}$

3. При $k=1\text{:}$ $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi =\frac{17\pi }{6}\notin [-\pi ;\pi ]\text{.}$

Ответ:

а) $\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

б) $\frac{5\pi }{6}$