Задача №16804

а) Решите уравнение

$$\frac{{\cos }^{4}x-\frac{1}{2}{\sin }^{2}x}{\sqrt{\cos x}\cdot \mathrm{tg}\left(\frac{x}{8}-\frac{\pi }{32}\right)}=0.$$

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi }{2};3\pi \right]\text{.}$

а) Уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}{\cos }^{4}x-\frac{1}{2}{\sin }^{2}x=0,\\ \mathrm{tg}\left(\frac{x}{8}-\frac{\pi }{32}\right)\ne 0,\\ \cos x>0.\end{array}$$

1) Преобразуем числитель:

$${\cos }^{4}x-\frac{1}{2}{\sin }^{2}x=0\iff 2{\cos }^{4}x+{\cos }^{2}x-1=0.$$

Подстановка $t={\cos }^{2}x\text{,}$ $0⩽t⩽1\text{:}$ $2t^2+t-1=0\text{,}$ корни $t=0,5$ и $t=-1$ (не подходит). Значит,

$${\cos }^{2}x=0,5\iff \cos 2x=0\iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}.$$

2) Условие на тангенс:

$$\mathrm{tg}\left(\frac{x}{8}-\frac{\pi }{32}\right)\ne 0\iff \frac{x}{8}-\frac{\pi }{32}\ne \frac{\pi m}{2}\iff x\ne \frac{\pi }{4}+4\pi m,m\in \mathbb{Z}.$$

3) Из серии $\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2}$ отбираем те, где $\cos x>0\text{.}$ На окружности это две серии: $-\frac{\pi }{4}+2\pi n$ (все в IV четверти) и $\frac{\pi }{4}+2\pi n$ (в I четверти). Серия $-\frac{\pi }{4}+2\pi n$ полностью в ответе. Из серии $\frac{\pi }{4}+2\pi n$ исключаем $n=2k$ (попадают в запрещённую серию $\frac{\pi }{4}+4\pi m$); оставшиеся нечётные $n=2k+1$ дают

$$\frac{\pi }{4}+2\pi (2k+1)=\frac{9\pi }{4}+4\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отбор корней на $\left[-\frac{\pi }{2};3\pi \right]\text{:}$

Серия $-\frac{\pi }{4}+2\pi n\text{:}$ $-\frac{1}{8}⩽n⩽\frac{13}{8}\text{,}$ $n\in \{0;1\}\text{.}$ При $n=0\text{:}$ $x=-\frac{\pi }{4}\text{;}$ при $n=1\text{:}$ $x=\frac{7\pi }{4}\text{.}$

Серия $\frac{9\pi }{4}+4\pi k\text{:}$ $-\frac{3}{16}⩽k⩽\frac{11}{16}\text{,}$ $k=0\text{.}$ Корень: $x=\frac{9\pi }{4}\text{.}$

Ответ:

а) $-\frac{\pi }{4}+2\pi n,n\in \mathbb{Z};\frac{9\pi }{4}+4\pi k,k\in \mathbb{Z}$

б) $-\frac{\pi }{4};\frac{7\pi }{4};\frac{9\pi }{4}$