а) Решите уравнение (cos^4 x - 12sin^2 x)/(sqrt(cos x) * tg(x8 - pi32)) = 0. б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-(pi)/(2);3pi] .

а) Уравнение равносильно системе cases cos^4 x - (1)/(2)sin^2 x = 0, tg((x)/(8) - (pi)/(32)) != 0, cos x > 0. cases 1) Преобразуем числитель: cos^4 x - (1)/(2)sin^2 x = 0 <=> 2cos^4 x + cos^2 x - 1 = 0. Подстановка t = cos^2 x , 0 t 1 : 2t^2 + t - 1 = 0 , корни t = 0,5 и t = -1 (не подходит). Значит, cos^2 x = 0,5 <=> cos 2x = 0 <=> x = (pi)/(4) + (pi n)/(2), n in Z. 2) Условие на тангенс: tg((x)/(8) - (pi)/(32)) != 0 <=> (x)/(8) - (pi)/(32) != (pi m)/(2) <=> x != (pi)/(4) + 4pi m, m in Z. 3) Из серии (pi)/(4) + (pi n)/(2) отбираем те, где cos x > 0 . На окружности это две серии: -(pi)/(4) + 2pi n (все в IV четверти) и (pi)/(4) + 2pi n (в I четверти). Серия -(pi)/(4) + 2pi n полностью в ответе. Из серии (pi)/(4) + 2pi n исключаем n = 2k (попадают в запрещённую серию (pi)/(4) + 4pi m ); оставшиеся нечётные n = 2k+1 дают (pi)/(4) + 2pi(2k+1) = (9pi)/(4) + 4pi k, k in Z. б) Отбор корней на [-(pi)/(2);3pi] : Серия -(pi)/(4) + 2pi n : -(1)/(8) n (13)/(8) , n in 0; 1 . При n = 0 : x = -(pi)/(4) ; при n = 1 : x = (7pi)/(4) . Серия (9pi)/(4) + 4pi k : -(3)/(16) k (11)/(16) , k = 0 . Корень: x = (9pi)/(4) . Ответ: а) -(pi)/(4) + 2pi n, n in Z; (9pi)/(4) + 4pi k, k in Z б) -(pi)/(4); (7pi)/(4); (9pi)/(4)

А) $-\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z};\ \dfrac{9\pi}{4} + 4\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$. Б) $-\dfrac{\pi}{4};\ \dfrac{7\pi}{4};\ \dfrac{9\pi}{4}$.