Задача №16798

Найдите все возможные значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых система

$$\{\begin{array}{l}|2x+3y|+|2x-3y|=7,\\ x^2+y^2=a^2-4-4y\end{array}$$

имеет хотя бы одно решение.

Решение (графический метод в плоскости $xOy$).

Уравнение (1): $|2x+3y|+|2x-3y|=7\text{.}$ Раскрытие модулей по знакам $2x+3y$ и $2x-3y$ даёт совокупность четырёх систем, задающих стороны прямоугольника:

1. $y=\frac{7}{6}$ при $|x|⩽\frac{7}{4}$ (верхняя сторона);
2. $y=-\frac{7}{6}$ при $|x|⩽\frac{7}{4}$ (нижняя);
3. $x=\frac{7}{4}$ при $|y|⩽\frac{7}{6}$ (правая);
4. $x=-\frac{7}{4}$ при $|y|⩽\frac{7}{6}$ (левая).

Вершины прямоугольника: $A\left(\frac{7}{4};\frac{7}{6}\right)\text{,}$ $B\left(\frac{7}{4};-\frac{7}{6}\right)\text{,}$ $C\left(-\frac{7}{4};-\frac{7}{6}\right)\text{,}$ $D\left(-\frac{7}{4};\frac{7}{6}\right)\text{.}$

Уравнение (2): $x^2+y^2=a^2-4-4y\iff x^2+(y+2{)}^2=a^2\text{.}$

При $a=0$ решением (2) является только точка $(0;-2)\text{,}$ не лежащая на прямоугольнике, — система решений не имеет. При $a\ne 0$ это окружность $\omega$ с центром $O_1(0;-2)$ и радиусом $R=|a|\text{.}$

Анализ. Прямоугольник $ABCD$ симметричен относительно оси $Oy\text{,}$ и центр $O_1$ окружности также лежит на $Oy\text{.}$ Следовательно, картина симметрична по знаку $a\text{.}$

Касание окружностью нижней стороны $BC$ происходит в точке $K(0;-7/6)$ при

$$|a|=O_{1}K=\left|-\frac{7}{6}+2\right|=\frac{5}{6}.$$

Прохождение окружности через дальнюю вершину $A\text{:}$

$$|a{|}^2={\left(\frac{7}{4}\right)}^2+{\left(\frac{7}{6}+2\right)}^2=\frac{49}{16}+\frac{361}{36}=\frac{441+1444}{144}=\frac{1885}{144},$$

откуда $|a|=\frac{\sqrt{1885}}{12}\text{.}$

Для промежуточных значений $|a|$ окружность пересекает прямоугольник хотя бы в одной точке. Условие «хотя бы одно решение»:

$$\frac{5}{6}⩽|a|⩽\frac{\sqrt{1885}}{12}.$$

Ответ: $a\in \left[-\frac{\sqrt{1885}}{12};-\frac{5}{6}\right]\cup \left[\frac{5}{6};\frac{\sqrt{1885}}{12}\right]\text{.}$