Найдите все возможные значения параметра a , при каждом из которых система cases |2x + 3y| + |2x - 3y| = 7, x^2 + y^2 = a^2 - 4 - 4y cases имеет хотя бы одно решение.

Решение (графический метод в плоскости xOy ). Уравнение (1): |2x + 3y| + |2x - 3y| = 7 . Раскрытие модулей по знакам 2x + 3y и 2x - 3y даёт совокупность четырёх систем, задающих стороны прямоугольника: 1. y = (7)/(6) при |x| (7)/(4) (верхняя сторона); 2. y = -(7)/(6) при |x| (7)/(4) (нижняя); 3. x = (7)/(4) при |y| (7)/(6) (правая); 4. x = -(7)/(4) при |y| (7)/(6) (левая). Вершины прямоугольника: A((7)/(4);(7)/(6)) , B((7)/(4);-(7)/(6)) , C(-(7)/(4);-(7)/(6)) , D(-(7)/(4);(7)/(6)) . Уравнение (2): x^2 + y^2 = a^2 - 4 - 4y <=> x^2 + (y + 2)^2 = a^2 . При a = 0 решением (2) является только точка (0;-2) , не лежащая на прямоугольнике, — система решений не имеет. При a != 0 это окружность с центром O_1(0;-2) и радиусом R = |a| . Анализ. Прямоугольник ABCD симметричен относительно оси Oy , и центр O_1 окружности также лежит на Oy . Следовательно, картина симметрична по знаку a . Касание окружностью нижней стороны BC происходит в точке K(0;-7/6) при |a| = O_1K = |-(7)/(6) + 2| = (5)/(6). Прохождение окружности через дальнюю вершину A : |a|^2 = ((7)/(4))^2 + ((7)/(6) + 2)^2 = (49)/(16) + (361)/(36) = (441 + 1444)/(144) = (1885)/(144), откуда |a| = (sqrt(1885))/(12) . Для промежуточных значений |a| окружность пересекает прямоугольник хотя бы в одной точке. Условие «хотя бы одно решение»: (5)/(6) |a| (sqrt(1885))/(12). Ответ: a in [-(sqrt(1885))/(12);-(5)/(6)] U [(5)/(6);(sqrt(1885))/(12)] .

$a \in \left[-\dfrac{\sqrt{1885}}{12};\, -\dfrac{5}{6}\right] \cup \left[\dfrac{5}{6};\, \dfrac{\sqrt{1885}}{12}\right]$