Задача №16797

Радиус основания цилиндра равен 1, а высота равна $\sqrt{2}\text{.}$ Две вершины правильного треугольника расположены на границе одного основания цилиндра, а одна вершина — на границе другого основания. Найдите сторону правильного треугольника. Если значений несколько, в ответе укажите квадрат меньшего из них.

Пусть $ABC$ — правильный треугольник со стороной $x\text{,}$ причём вершины $A$ и $C$ лежат на нижнем основании цилиндра, а $B$ — на верхнем. Радиус $R=1\text{,}$ высота $\sqrt{2}\text{.}$

Пусть $B^{\prime }$ — проекция $B$ на нижнее основание; $E$ — середина $AC\text{.}$ Тогда $AE=EC=\frac{x}{2}\text{,}$ $OE=B^{\prime }E=\frac{a}{2}\text{,}$ где $a=B^{\prime }C\text{.}$

Из $△B^{\prime }EC\text{:}$ $\sin \alpha =\frac{x/2}{a}=\frac{x}{2a}\text{.}$ Из $△O{B}^{\prime }H\text{:}$ $\cos \alpha =\frac{a/2}{1}=\frac{a}{2}\text{.}$

Из ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\text{:}$

Из $△B{B}^{\prime }C\text{:}$ $B{C}^2=B{B}^{\prime 2}+B^{\prime }{C}^2\text{,}$ т.е. $x^2=2+a^2\text{,}$ откуда $a^2=x^2-2\text{.}$

Подставляем:

Домножим на $4(x^2-2)\text{:}$

Откуда $x^2=3$ или $x^2=4\text{.}$

При $x^2=4\text{:}$ $x=2=2R$ — сторона совпадает с диаметром основания.

При $x^2=3\text{:}$ $x=\sqrt{3}<2$ — меньшее значение.

Ответ: 3 (квадрат меньшего из значений $x$).