Радиус основания цилиндра равен 1, а высота равна sqrt(2) . Две вершины правильного треугольника расположены на границе одного основания цилиндра, а одна вершина — на границе другого основания. Найдите сторону правильного треугольника. Если значений несколько, в ответе укажите квадрат меньшего из них.

Пусть ABC — правильный треугольник со стороной x , причём вершины A и C лежат на нижнем основании цилиндра, а B — на верхнем. Радиус R = 1 , высота sqrt(2) . Пусть B' — проекция B на нижнее основание; E — середина AC . Тогда AE = EC = (x)/(2) , OE = B'E = (a)/(2) , где a = B'C . Из B'EC : = (x/2)/(a) = (x)/(2a) . Из OB'H : = (a/2)/(1) = (a)/(2) . Из sin^2alpha + cos^2alpha = 1 : (x^2)/(4a^2) + (a^2)/(4) = 1. Из BB'C : BC^2 = BB'^2 + B'C^2 , т.е. x^2 = 2 + a^2 , откуда a^2 = x^2 - 2 . Подставляем: (x^2)/(4(x^2-2)) + (x^2-2)/(4) = 1. Домножим на 4(x^2-2) : x^2 + (x^2-2)^2 = 4x^2 - 8, x^4 - 7x^2 + 12 = 0. Откуда x^2 = 3 или x^2 = 4 . При x^2 = 4 : x = 2 = 2R — сторона совпадает с диаметром основания. При x^2 = 3 : x = sqrt(3) < 2 — меньшее значение. Ответ: 3 (квадрат меньшего из значений x ).

3