Задача №16793

В правильной треугольной призме $ABC{A}_1{B}_1{C}_1\text{,}$ все рёбра которой равны $\sqrt{3}\text{,}$ найдите расстояние между прямыми $A{A}_1$ и $B{C}_1\text{.}$

Прямые $A{A}_1$ и $B{C}_1$ скрещиваются. Пусть $AH$ — высота равностороннего основания $△ABC$ со стороной $\sqrt{3}\text{,}$ проведённая из $A$ к $BC\text{.}$ Тогда

$AH\perp BC$ (как высота) и $AH\perp C{C}_1$ (так как призма прямая, $C{C}_1\perp$ плоскости основания). Значит, $AH\perp$ плоскости $BC{C}_1{B}_1\text{,}$ а потому $AH\perp B{C}_1\text{.}$

С другой стороны, $AH\perp A{A}_1$ (так как $AH$ лежит в плоскости основания, а $A{A}_1\perp$ основание). Поэтому $AH$ — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых $A{A}_1$ и $B{C}_1\text{,}$ и расстояние между ними равно $AH=\frac{3}{2}=1,5\text{.}$

Ответ: $1,5$