Решите неравенство: (4 _(2)(x + 0,5))/(5^(1 - sqrt(x)) - 1) 5^(sqrt(x)) * _(2)(x + 0,5).

ОДЗ: cases x + 0,5 > 0, x 0, 1 - sqrt(x) != 0; cases<=>x in [0;1) U (1;+inf). Заметим, что 5^(1 - sqrt(x)) = (5)/(5^(sqrt(x))). Умножим обе части на 5^(sqrt(x)) > 0: (4 * 5^(sqrt(x)) _(2)(x + 0,5))/(5 - 5^(sqrt(x))) 5^(sqrt(x)) * _(2)(x + 0,5). Поделим на 5^(sqrt(x)) и перенесём всё в левую часть: (4 _(2)(x + 0,5) - (5 - 5^(sqrt(x))) _(2)(x + 0,5))/(5 - 5^(sqrt(x))) 0<=>(_(2)(x + 0,5) * (5^(sqrt(x)) - 1))/(5 - 5^(sqrt(x))) 0. Меняем знак знаменателя: ((_(2)(x + 0,5) - _(2) 1) * (5^(sqrt(x)) - 5^(0)))/(5^(sqrt(x)) - 5^(1)) 0. Так как y = _(2) t и y = 5^(t) — возрастающие, разность их значений совпадает по знаку с разностью аргументов. Заменяем: ((x + 0,5 - 1)(sqrt(x) - 0))/(sqrt(x) - 1) 0<=>((x - 0,5)sqrt(x))/(sqrt(x) - 1) 0. Умножим числитель и знаменатель на sqrt(x) + 1 > 0: ((x - 0,5)sqrt(x)(sqrt(x) + 1))/(x - 1) 0. Нули числителя: x = 0 и x = 0,5. Нуль знаменателя: x = 1. На ОДЗ [0;1) U (1;+inf) методом интервалов получаем x in [0;0,5] U (1;+inf). Ответ: x in [0;0,5] U (1;+inf).

$x \in [0;\,0{,}5] \cup (1;\,+\infty)$