Задача №16787

Решите неравенство:

$$\frac{4{\log }_2(x+0,5)}{5^{1-\sqrt{x}}-1}⩽5^{\sqrt{x}}\cdot {\log }_2(x+0,5).$$

ОДЗ:

$$\{\begin{array}{l}x+0,5>0,\\ x⩾0,\\ 1-\sqrt{x}\ne 0;\end{array}\iff x\in [0;1)\cup (1;+\infty ).$$

Заметим, что $5^{1-\sqrt{x}}=\frac{5}{5^{\sqrt{x}}}\text{.}$ Умножим обе части на $5^{\sqrt{x}}>0\text{:}$

$$\frac{4\cdot 5^{\sqrt{x}}{\log }_2(x+0,5)}{5-5^{\sqrt{x}}}⩽5^{\sqrt{x}}\cdot {\log }_2(x+0,5).$$

Поделим на $5^{\sqrt{x}}$ и перенесём всё в левую часть:

$$\frac{4{\log }_2(x+0,5)-(5-5^{\sqrt{x}}){\log }_2(x+0,5)}{5-5^{\sqrt{x}}}⩽0\iff \frac{{\log }_2(x+0,5)\cdot (5^{\sqrt{x}}-1)}{5-5^{\sqrt{x}}}⩽0.$$

Меняем знак знаменателя:

$$\frac{({\log }_2(x+0,5)-{\log }_{2}1)\cdot (5^{\sqrt{x}}-5^0)}{5^{\sqrt{x}}-5^1}⩾0.$$

Так как $y={\log }_{2}t$ и $y=5^t$ — возрастающие, разность их значений совпадает по знаку с разностью аргументов. Заменяем:

$$\frac{(x+0,5-1)(\sqrt{x}-0)}{\sqrt{x}-1}⩾0\iff \frac{(x-0,5)\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}⩾0.$$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{x}+1>0\text{:}$

$$\frac{(x-0,5)\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}{x-1}⩾0.$$

Нули числителя: $x=0$ и $x=0,5\text{.}$ Нуль знаменателя: $x=1\text{.}$ На ОДЗ $[0;1)\cup (1;+\infty )$ методом интервалов получаем $x\in [0;0,5]\cup (1;+\infty )\text{.}$

Ответ: $x\in [0;0,5]\cup (1;+\infty )\text{.}$