В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 точки P, K, L — середины рёбер AA_1, A_1D_1, B_1C_1 соответственно, точка Q — центр грани CC_1D_1D. Отрезок MN с концами на прямых AD и KL соответственно пересекает прямую PQ и перпендикулярен ей. А) Докажите, что AM : MD = 5 : 1. Б) Найдите длину отрезка MN, если сторона куба равна 3.

Решение. Применим координатный метод. Поместим начало в точку B, ось Bx направим вдоль BA, ось By вдоль BC, ось Bz вдоль BB_1. Ребро куба равно 3. Координаты ключевых точек: - P(3;0;1,5) — середина AA_1 - Q(1,5;3;1,5) — центр грани CC_1D_1D - M(3;y_M;0) — точка на AD - N(x_N;1,5;3) — точка на KL Векторы: PQ = (-1,5;3;0), MN = (x_N-3;1,5-y_M;3). Условие 1: PQ MN: -1,5(x_N-3) + 3(1,5-y_M) = 0 => x_N + 2y_M = 6. 1 Условие 2: Прямые PQ и MN пересекаются => лежат в одной плоскости. Уравнение плоскости через P, M, Q: vmatrix x-3 & y & z-1,5 -1,5 & 3 & 0 0 & y_M & -1,5 vmatrix = 0. Раскрывая: 3x + 1,5y + y_Mz - 1,5y_M - 9 = 0. Подставляя координаты N(x_N;1,5;3): 3x_N + 2,25 + 3y_M - 1,5y_M - 9 = 0 => 2x_N + y_M = 4,5. 2 Решая систему (1), (2): x_N = 1, y_M = 2,5. А) AM = y_M = 2,5, MD = 3 - 2,5 = 0,5. (AM)/(MD) = (2,5)/(0,5) = (5)/(1), ч.т.д. Б) MN = (1-3;1,5-2,5;3) = (-2;-1;3). |MN| = sqrt(4 + 1 + 9) = sqrt(14). Ответ Б): sqrt(14).

$\sqrt{14}$