Задача №16786

В кубе $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ точки $P\text{,}$ $K\text{,}$ $L$ — середины рёбер $A{A}_1\text{,}$ $A_1{D}_1\text{,}$ $B_1{C}_1$ соответственно, точка $Q$ — центр грани $C{C}_1{D}_{1}D\text{.}$ Отрезок $MN$ с концами на прямых $AD$ и $KL$ соответственно пересекает прямую $PQ$ и перпендикулярен ей.

А) Докажите, что $AM:MD=5:1\text{.}$
Б) Найдите длину отрезка $MN\text{,}$ если сторона куба равна $3\text{.}$

Решение. Применим координатный метод. Поместим начало в точку $B\text{,}$ ось $Bx$ направим вдоль $BA\text{,}$ ось $By$ вдоль $BC\text{,}$ ось $Bz$ вдоль $B{B}_1\text{.}$ Ребро куба равно $3\text{.}$

Координаты ключевых точек:

• $P\left(3;0;1,5\right)$ — середина $A{A}_1$
• $Q\left(1,5;3;1,5\right)$ — центр грани $C{C}_1{D}_{1}D$
• $M(3;y_M;0)$ — точка на $AD$
• $N(x_N;1,5;3)$ — точка на $KL$

Векторы: $\overrightarrow{PQ}=(-1,5;3;0)\text{,}$ $\overrightarrow{MN}=(x_N-3;1,5-y_M;3)\text{.}$

Условие 1: $\overrightarrow{PQ}\perp \overrightarrow{MN}\text{:}$

$$-1,5(x_N-3)+3(1,5-y_M)=0\Rightarrow x_N+2y_M=6.\text{\hspace{1em}(1)}$$

Условие 2: Прямые $PQ$ и $MN$ пересекаются $\Rightarrow$ лежат в одной плоскости. Уравнение плоскости через $P\text{,}$ $M\text{,}$ $Q\text{:}$

$$\left|\begin{array}{ccc}x-3& y& z-1,5\\ -1,5& 3& 0\\ 0& y_M& -1,5\end{array}\right|=0.$$

Раскрывая: $3x+1,5y+y_{M}z-1,5y_M-9=0\text{.}$

Подставляя координаты $N(x_N;1,5;3)\text{:}$

$$3x_N+2,25+3y_M-1,5y_M-9=0\Rightarrow 2x_N+y_M=4,5.\text{\hspace{1em}(2)}$$

Решая систему $(1)\text{,}$ $(2)\text{:}$ $x_N=1\text{,}$ $y_M=2,5\text{.}$

А) $AM=y_M=2,5\text{,}$ $MD=3-2,5=0,5\text{.}$ $\frac{AM}{MD}=\frac{2,5}{0,5}=\frac{5}{1}\text{,}$ ч.т.д.

Б) $\overrightarrow{MN}=(1-3;1,5-2,5;3)=(-2;-1;3)\text{.}$

$$|MN|=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}.$$

Ответ Б): $\sqrt{14}\text{.}$