А) Решите уравнение sqrt(tg x + sin x) + sqrt(tg x - sin x) = 2sqrt(tg x) * cos x . Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-(pi)/(2);pi] .

Решение А). ОДЗ: tg x + sin x 0 , tg x - sin x 0 , tg x 0 , cos x != 0 . Преобразуем: tg x + sin x = (sin x(1+cos x))/(cos x), tg x - sin x = (sin x(1-cos x))/(cos x). Уравнение принимает вид: sqrt(tg x) * (sqrt(1+cos x) + sqrt(1-cos x) - 2cos x) = 0. Случай 1: tg x = 0 => x = pi k , k in Z . Случай 2: sqrt(1+cos x) + sqrt(1-cos x) = 2cos x при tg x 0 . Правая часть требует cos x 0 . Возведём в квадрат: 2 + 2sqrt(1-cos^2 x) = 4cos^2 x, 1 + |sin x| = 2(1 - sin^2 x), 2sin^2 x + |sin x| - 1 = 0. С учётом cos x 0 и tg x 0 имеем sin x 0 , |sin x| = sin x : 2sin^2 x + sin x - 1 = 0. Корни: sin x = -1 (не подходит) или sin x = (1)/(2) . При cos x 0 : x = (pi)/(6) + 2pi n , n in Z . Ответ А): x = pi k , k in Z ; x = (pi)/(6) + 2pi n , n in Z . Решение Б). Отбираем корни на отрезке [-(pi)/(2);pi] : Из x = pi k : x_1 = 0 ( k=0 ), x_3 = pi ( k=1 ). Из x = (pi)/(6) + 2pi n : x_2 = (pi)/(6) ( n=0 ). Ответ Б): 0; (pi)/(6); pi .

А) $x = \pi k,\ k \in \mathbb{Z}$; $x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$. Б) $0;\ \dfrac{\pi}{6};\ \pi$.