Задача №16785

А) Решите уравнение
$\sqrt{\mathrm{tg}x+\sin x}+\sqrt{\mathrm{tg}x-\sin x}=2\sqrt{\mathrm{tg}x}\cdot \cos x\text{.}$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[-\frac{\pi }{2};\pi \right]\text{.}$

Решение А).

ОДЗ: $\mathrm{tg}x+\sin x⩾0\text{,}$ $\mathrm{tg}x-\sin x⩾0\text{,}$ $\mathrm{tg}x⩾0\text{,}$ $\cos x\ne 0\text{.}$

Преобразуем:

$$\mathrm{tg}x+\sin x=\frac{\sin x(1+\cos x)}{\cos x},\mathrm{tg}x-\sin x=\frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}.$$

Уравнение принимает вид:

$$\sqrt{\mathrm{tg}x}\cdot \left(\sqrt{1+\cos x}+\sqrt{1-\cos x}-2\cos x\right)=0.$$

Случай 1: $\mathrm{tg}x=0\Rightarrow x=\pi k\text{,}$ $k\in \mathbb{Z}\text{.}$

Случай 2: $\sqrt{1+\cos x}+\sqrt{1-\cos x}=2\cos x$ при $\mathrm{tg}x⩾0\text{.}$

Правая часть требует $\cos x⩾0\text{.}$ Возведём в квадрат:

$$2+2\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=4{\cos }^{2}x,$$ $$1+|\sin x|=2(1-{\sin }^{2}x),$$ $$2{\sin }^{2}x+|\sin x|-1=0.$$

С учётом $\cos x⩾0$ и $\mathrm{tg}x⩾0$ имеем $\sin x⩾0\text{,}$ $|\sin x|=\sin x\text{:}$

$$2{\sin }^{2}x+\sin x-1=0.$$

Корни: $\sin x=-1$ (не подходит) или $\sin x=\frac{1}{2}\text{.}$

При $\cos x⩾0\text{:}$ $x=\frac{\pi }{6}+2\pi n\text{,}$ $n\in \mathbb{Z}\text{.}$

Ответ А): $x=\pi k\text{,}$ $k\in \mathbb{Z}\text{;}$ $x=\frac{\pi }{6}+2\pi n\text{,}$ $n\in \mathbb{Z}\text{.}$

Решение Б). Отбираем корни на отрезке $\left[-\frac{\pi }{2};\pi \right]\text{:}$

Из $x=\pi k\text{:}$ $x_1=0$ ($k=0$), $x_3=\pi$ ($k=1$).

Из $x=\frac{\pi }{6}+2\pi n\text{:}$ $x_2=\frac{\pi }{6}$ ($n=0$).

Ответ Б): $\left\{0;\frac{\pi }{6};\pi \right\}\text{.}$