Задача №16784

В трапеции $ABCD$ точка пересечения диагоналей равноудалена от прямых, на которых лежат боковые стороны, большее основание $AD=40\text{,}$ $AB=8\sqrt{2}\text{.}$

а) Докажите, что трапеция $ABCD$ равнобедренная.

б) Найдите расстояние от точки $O$ пересечения диагоналей до точки $K$ пересечения продолжений боковых сторон, если продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом.

а) Доказательство, что трапеция равнобедренная.

Пусть $K$ — точка пересечения продолжений боковых сторон $AB$ и $CD\text{.}$ Покажем, что для любой трапеции прямая $KO$ проходит через середины $M$ основания $AD$ и $N$ основания $BC\text{.}$

Из подобия $△BKN\sim △AKM$ (по двум углам, $BC\parallel AD$):

$$\frac{BN}{AM}=\frac{KN}{KM}.$$

Аналогично $△NKC\sim △MKD\text{:}$

$$\frac{NC}{MD}=\frac{KN}{KM}.$$

Значит,

$$\frac{BN}{NC}=\frac{AM}{MD}.$$

Также из подобия $△BNO\sim △DMO$ и $△CNO\sim △AMO$ (через диагонали, по двум углам):

$$\frac{BN}{MD}=\frac{NO}{OM}=\frac{NC}{AM},$$

откуда

$$\frac{BN}{NC}=\frac{MD}{AM}.$$

Сравнив, получаем $\frac{AM}{MD}=\frac{MD}{AM}\text{,}$ что возможно только при $AM=MD$ (и тогда $BN=NC$). Итак, $KM$ — медиана $△AKD$ к стороне $AD\text{.}$

По условию точка $O$ равноудалена от прямых $AB$ и $CD$ (то есть от прямых $KA$ и $KD$), значит $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle AKD\text{.}$ Поскольку $O\in KM\text{,}$ прямая $KM$ совпадает с биссектрисой $\angle AKD\text{.}$

В $△AKD$ медиана $KM$ совпадает с биссектрисой угла $\angle AKD\text{,}$ значит, $△AKD$ — равнобедренный: $KA=KD\text{.}$ Углы при основании равны: $\angle KAD=\angle KDA\text{,}$ то есть $\angle BAD=\angle CDA\text{.}$ Значит, трапеция $ABCD$ равнобедренная, что и требовалось доказать.

б) Расстояние $OK\text{.}$

Дано: $AD=40\text{,}$ $AB=CD=8\sqrt{2}\text{,}$ $\angle AKD=90^{\circ }\text{.}$

$△AKD$ — прямоугольный равнобедренный с гипотенузой $AD=40\text{,}$ поэтому $\angle KAD=\angle KDA=45^{\circ }\text{.}$

Опустим высоты $BP\perp AD$ и $CQ\perp AD\text{.}$ В прямоугольных $△ABP$ и $△DCQ$ гипотенузы $AB=CD=8\sqrt{2}\text{,}$ углы при основании $45^{\circ }\text{,}$ поэтому $AP=BP=8$ и $DQ=CQ=8\text{.}$

Тогда

$$BC=PQ=AD-AP-DQ=40-8-8=24.$$

Высота трапеции $h=BP=8\text{.}$

$M$ — середина $AD$ ($AM=MD=20$), $N$ — середина $BC\text{,}$ и $MN\perp AD\text{,}$ $MN=h=8\text{.}$

Из подобия $△AOD\sim △COB$ с коэффициентом $\frac{AD}{BC}=\frac{40}{24}=\frac{5}{3}\text{:}$ точка $O$ лежит на отрезке $MN\text{,}$ причём $\frac{OM}{ON}=\frac{5}{3}\text{.}$ Пусть $ON=x\text{,}$ $OM=8-x\text{:}$

$$\frac{8-x}{x}=\frac{5}{3},3(8-x)=5x,24=8x,x=3.$$

Значит, $ON=3\text{,}$ $OM=5\text{.}$

В прямоугольном равнобедренном $△AKD$ медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы:

$$KM=\frac{AD}{2}=20.$$

Точки $K\text{,}$ $N$ и $M$ лежат на одной прямой ($KM$ — медиана и биссектриса $△AKD\text{,}$ а $N$ — середина параллельной стороны $BC$). Точка $N$ лежит между $K$ и $M\text{,}$ поэтому

$$KN=KM-MN=20-8=12,OK=ON+NK=3+12=15.$$

Ответ:

б) $15\text{.}$