В трапеции ABCD точка пересечения диагоналей равноудалена от прямых, на которых лежат боковые стороны, большее основание AD = 40 , AB = 8sqrt(2) . а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная. б) Найдите расстояние от точки O пересечения диагоналей до точки K пересечения продолжений боковых сторон, если продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом.

а) Доказательство, что трапеция равнобедренная. Пусть K — точка пересечения продолжений боковых сторон AB и CD . Покажем, что для любой трапеции прямая KO проходит через середины M основания AD и N основания BC . Из подобия BKN AKM (по двум углам, BC AD ): (BN)/(AM) = (KN)/(KM). Аналогично NKC MKD : (NC)/(MD) = (KN)/(KM). Значит, (BN)/(NC) = (AM)/(MD). Также из подобия BNO DMO и CNO AMO (через диагонали, по двум углам): (BN)/(MD) = (NO)/(OM) = (NC)/(AM), откуда (BN)/(NC) = (MD)/(AM). Сравнив, получаем (AM)/(MD) = (MD)/(AM) , что возможно только при AM = MD (и тогда BN = NC ). Итак, KM — медиана AKD к стороне AD . По условию точка O равноудалена от прямых AB и CD (то есть от прямых KA и KD ), значит O лежит на биссектрисе угла AKD . Поскольку O in KM , прямая KM совпадает с биссектрисой AKD . В AKD медиана KM совпадает с биссектрисой угла AKD , значит, AKD — равнобедренный: KA = KD . Углы при основании равны: KAD = KDA , то есть BAD = CDA . Значит, трапеция ABCD равнобедренная, что и требовалось доказать. б) Расстояние OK . Дано: AD = 40 , AB = CD = 8sqrt(2) , AKD = 90^ . AKD — прямоугольный равнобедренный с гипотенузой AD = 40 , поэтому KAD = KDA = 45^ . Опустим высоты BP AD и CQ AD . В прямоугольных ABP и DCQ гипотенузы AB = CD = 8sqrt(2) , углы при основании 45^ , поэтому AP = BP = 8 и DQ = CQ = 8 . Тогда BC = PQ = AD - AP - DQ = 40 - 8 - 8 = 24. Высота трапеции h = BP = 8 . M — середина AD ( AM = MD = 20 ), N — середина BC , и MN AD , MN = h = 8 . Из подобия AOD COB с коэффициентом (AD)/(BC) = (40)/(24) = (5)/(3) : точка O лежит на отрезке MN , причём (OM)/(ON) = (5)/(3) . Пусть ON = x , OM = 8 - x : (8 - x)/(x) = (5)/(3), 3(8 - x) = 5x, 24 = 8x, x = 3. Значит, ON = 3 , OM = 5 . В прямоугольном равнобедренном AKD медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы: KM = (AD)/(2) = 20. Точки K , N и M лежат на одной прямой ( KM — медиана и биссектриса AKD , а N — середина параллельной стороны BC ). Точка N лежит между K и M , поэтому KN = KM - MN = 20 - 8 = 12, OK = ON + NK = 3 + 12 = 15. Ответ: б) 15 .

Б) $15$.