Задача №16783

Легко

Задача #16783

Разные задачи•1 балл

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $φ = ω t + \frac{β t ^{2}}{2},$ где $t$ — время в минутах, $ω = 15$ °/мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а $β = 3$ °/мин $^{2}$ — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки $φ$ достигнет $300 0^{\circ} .$ Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ выразите в минутах.

По условию угол поворота катушки задан формулой

φ (t) = ω t + \frac{β t ^{2}}{2}, ω = 15 °/ мин, β = 3 °/ мин^{2} .

Подставим параметры:

φ (t) = 15 t + \frac{3 t ^{2}}{2} = 15 t + 1, 5 t^{2} .

Найдём момент $t,$ в который $φ = 300 0^{\circ} :$

1, 5 t^{2} + 15 t = 3000 \Leftrightarrow t^{2} + 10 t - 2000 = 0.

Дискриминант:

D = 1 0^{2} + 4 \cdot 2000 = 100 + 8000 = 8100, D = 90.

Корни уравнения:

t = \frac{- 10 \pm 90}{2} \Rightarrow t_{1} = 40, t_{2} = - 50.

Время положительно, поэтому $t = 40$ мин. Именно к этому моменту угол намотки достигнет $300 0^{\circ},$ и рабочий должен проверить лебёдку не позже этого момента.