Задача №16782

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$2\sqrt{x-1}+\sqrt{3}\sqrt{x-2}=ax+2$$

имеет единственное решение.

Рассмотрим уравнение

$$2\sqrt{x-1}+\sqrt{3}\sqrt{x-2}=ax+2,x⩾2.$$

Перенесём свободный член:

$$F(x):=2\sqrt{x-1}+\sqrt{3}\sqrt{x-2}-2=ax.$$

Свойства $F$ на $[2;+\infty )\text{:}$

1. $F(2)=2\sqrt{1}+0-2=0\text{;}$
2. $F^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{x-1}}+\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{x-2}}>0$ при $x>2\text{,}$ значит $F$ строго возрастает;
3. $F^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{2(x-1{)}^{3/2}}-\frac{\sqrt{3}}{4(x-2{)}^{3/2}}<0$ при $x>2\text{,}$ значит $F$ строго вогнута;
4. $F(x)\to +\infty$ при $x\to \infty \text{.}$

Геометрическая интерпретация. Уравнение $F(x)=ax$ — это пересечение строго вогнутой кривой $y=F(x)$ ($F(2)=0$) с прямой $y=ax\text{,}$ проходящей через начало координат (при $x=0\text{,}$ формально).

Поскольку $F(2)=0\text{,}$ при $a=0$ имеется ровно одна точка $x=2$ (далее $F(x)>0=ax$).

При $a<0\text{:}$ $ax<0⩽F(x)$ на $[2;+\infty )$ — решений нет.

При $a>0$ рассмотрим функцию $h(x)=\frac{F(x)}{x}$ на $[2;+\infty )\text{:}$ $h(2)=0\text{,}$ $h(x)\to 0$ при $x\to \infty$ (так как $F(x)\sim (2+\sqrt{3})\sqrt{x}$). Из вогнутости $F$ и условий $F(2)=0$ следует, что $h$ имеет единственный максимум.

Поиск максимума. Из условия $h^{\prime }(x)=0\text{:}$ $x{F}^{\prime }(x)=F(x)\text{,}$ то есть

$$\frac{x}{\sqrt{x-1}}+\frac{x\sqrt{3}}{2\sqrt{x-2}}=2\sqrt{x-1}+\sqrt{3}\sqrt{x-2}-2.$$

Проверим $x=5\text{:}$

1. $F(5)=2\sqrt{4}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}-2=4+3-2=5\text{;}$
2. $F^{\prime }(5)=\frac{1}{\sqrt{4}}+\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\text{;}$
3. $x{F}^{\prime }(x)=5\cdot 1=5=F(5)\text{.}$

То есть $x=5$ — точка максимума $h\text{,}$ и $h(5)=\frac{F(5)}{5}=1\text{.}$

При $a=1$ прямая $y=x+2$ касается кривой $y=2\sqrt{x-1}+\sqrt{3}\sqrt{x-2}$ в точке $x=5$ (значения $7=7$ и производные равны $1$). Из строгой вогнутости функции LHS прямая лежит выше кривой при всех остальных $x⩾2\text{,}$ поэтому уравнение имеет ровно одно решение $x=5\text{.}$

Поведение прочих $a\text{:}$

1. При $0<a<1\text{:}$ $h$ принимает значение $a$ в двух точках (по обе стороны от $x=5$), значит два решения.
2. При $a>1\text{:}$ $h(x)<1⩽a$ для всех $x⩾2\text{,}$ решений нет.

Итог: уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда $a=0$ (тогда $x=2$) или $a=1$ (тогда $x=5$).

Ответ: $a\in \{0;1\}\text{.}$