Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение 2sqrt(x - 1) + sqrt(3)sqrt(x - 2) = ax + 2 имеет единственное решение.

Рассмотрим уравнение 2sqrt(x-1) + sqrt(3)sqrt(x-2) = ax + 2, x 2. Перенесём свободный член: F(x) := 2sqrt(x-1) + sqrt(3)sqrt(x-2) - 2 = ax. Свойства F на [2;+inf) : 1. F(2) = 2sqrt(1) + 0 - 2 = 0 ; 2. F'(x) = (1)/(sqrt(x-1)) + (sqrt(3))/(2sqrt(x-2)) > 0 при x > 2 , значит F строго возрастает; 3. F''(x) = -(1)/(2(x-1)^(3/2)) - (sqrt(3))/(4(x-2)^(3/2)) < 0 при x > 2 , значит F строго вогнута; 4. F(x) +inf при x inf . Геометрическая интерпретация. Уравнение F(x) = ax — это пересечение строго вогнутой кривой y = F(x) ( F(2) = 0 ) с прямой y = ax , проходящей через начало координат (при x = 0 , формально). Поскольку F(2) = 0 , при a = 0 имеется ровно одна точка x = 2 (далее F(x) > 0 = ax ). При a < 0 : ax < 0 F(x) на [2;+inf) — решений нет. При a > 0 рассмотрим функцию h(x) = (F(x))/(x) на [2;+inf) : h(2) = 0 , h(x) 0 при x inf (так как F(x) (2+sqrt(3))sqrt(x) ). Из вогнутости F и условий F(2) = 0 следует, что h имеет единственный максимум. Поиск максимума. Из условия h'(x) = 0 : xF'(x) = F(x) , то есть (x)/(sqrt(x-1)) + (xsqrt(3))/(2sqrt(x-2)) = 2sqrt(x-1) + sqrt(3)sqrt(x-2) - 2. Проверим x = 5 : 1. F(5) = 2sqrt(4) + sqrt(3)*sqrt(3) - 2 = 4 + 3 - 2 = 5 ; 2. F'(5) = (1)/(sqrt(4)) + (sqrt(3))/(2sqrt(3)) = (1)/(2) + (1)/(2) = 1 ; 3. xF'(x) = 5 * 1 = 5 = F(5) . То есть x = 5 — точка максимума h , и h(5) = (F(5))/(5) = 1 . При a = 1 прямая y = x + 2 касается кривой y = 2sqrt(x-1) + sqrt(3)sqrt(x-2) в точке x = 5 (значения 7 = 7 и производные равны 1 ). Из строгой вогнутости функции LHS прямая лежит выше кривой при всех остальных x 2 , поэтому уравнение имеет ровно одно решение x = 5 . Поведение прочих a : 1. При 0 < a < 1 : h принимает значение a в двух точках (по обе стороны от x = 5 ), значит два решения. 2. При a > 1 : h(x) < 1 a для всех x 2 , решений нет. Итог: уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда a = 0 (тогда x = 2 ) или a = 1 (тогда x = 5 ). Ответ: a in 0;1 .

0; 1