Задача №16781

На доске написаны три различных однозначных натуральных числа. К каждому из них приписали слева одну и ту же цифру, и сумма этих чисел увеличилась в $n$ раз.

а) Может ли $n$ быть равно 15?

б) Может ли $n$ быть равно 50?

в) Найдите наибольшее возможное натуральное значение $n\text{.}$

Пусть на доске написаны три различных однозначных натуральных числа $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c\text{,}$ а слева к каждому приписали цифру $d\text{.}$ Получились трёхзначные числа $\overline{da}=10d+a\text{,}$ $\overline{db}=10d+b\text{,}$ $\overline{dc}=10d+c\text{.}$ Сумма исходных $s=a+b+c\text{,}$ новая сумма равна $30d+s\text{.}$

По условию:

$$30d+s=ns\iff 30d=(n-1)s\iff n=\frac{30d}{s}+1.\text{\hspace{1em}(∗)}$$

а) Может ли $n=15\text{?}$ Из $(\ast )\text{:}$

$$30d=14s\iff 15d=7s.$$

Возьмём $a=4\text{,}$ $b=5\text{,}$ $c=6\text{,}$ $d=7\text{:}$ $s=15\text{,}$ $74+75+76=225=15\cdot 15\text{.}$ Да.

б) Может ли $n=50\text{?}$ Из $(\ast )\text{:}$ $30d=49s\text{.}$ Так как $\gcd (30,49)=1\text{,}$ число $d$ должно делиться на $49\text{.}$ Но $d$ — цифра, $1⩽d⩽9\text{,}$ противоречие. Нет.

в) Из $(\ast )$ оценим $n$ сверху. Так как числа различны и однозначны натуральны, $s=a+b+c⩾1+2+3=6\text{.}$ Цифра $d⩽9\text{.}$ Тогда

$$n=\frac{30d}{s}+1⩽\frac{30\cdot 9}{6}+1=45+1=46.$$

Значение $n=46$ достигается при $a=1\text{,}$ $b=2\text{,}$ $c=3\text{,}$ $d=9\text{:}$ $s=6\text{,}$ $91+92+93=276=46\cdot 6\text{.}$

Ответ:

а) Да

б) Нет

в) $46$