На доске написаны три различных однозначных натуральных числа. К каждому из них приписали слева одну и ту же цифру, и сумма этих чисел увеличилась в n раз. а) Может ли n быть равно 15? б) Может ли n быть равно 50? в) Найдите наибольшее возможное натуральное значение n .

Пусть на доске написаны три различных однозначных натуральных числа a , b , c , а слева к каждому приписали цифру d . Получились трёхзначные числа da = 10d + a , db = 10d + b , dc = 10d + c . Сумма исходных s = a + b + c , новая сумма равна 30d + s . По условию: 30d + s = ns <=>30d = (n - 1)s <=>n = (30d)/(s) + 1. * а) Может ли n = 15 ? Из (*) : 30d = 14s <=>15d = 7s. Возьмём a = 4 , b = 5 , c = 6 , d = 7 : s = 15 , 74 + 75 + 76 = 225 = 15 * 15 . Да. б) Может ли n = 50 ? Из (*) : 30d = 49s . Так как (30,49) = 1 , число d должно делиться на 49 . Но d — цифра, 1 d 9 , противоречие. Нет. в) Из (*) оценим n сверху. Так как числа различны и однозначны натуральны, s = a + b + c 1 + 2 + 3 = 6 . Цифра d 9 . Тогда n = (30d)/(s) + 1 (30 * 9)/(6) + 1 = 45 + 1 = 46. Значение n = 46 достигается при a = 1 , b = 2 , c = 3 , d = 9 : s = 6 , 91 + 92 + 93 = 276 = 46 * 6 . Ответ: а) Да б) Нет в) 46

А) Да; Б) Нет; В) 46