Задача №16780

В пирамиде $ABCD$ рёбра $DA\text{,}$ $DB$ и $DC$ попарно перпендикулярны, а $AB=BC=AC=1\text{.}$ На рёбрах $DA$ и $DC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $DM:MA=DN:NC=2:5\text{.}$

А) Докажите, что пирамида $ABCD$ правильная.
Б) Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $MNB\text{.}$

А) Так как рёбра $DA\text{,}$ $DB\text{,}$ $DC$ попарно перпендикулярны, то треугольники $△ADB\text{,}$ $△BDC\text{,}$ $△ADC$ — прямоугольные с прямым углом при вершине $D$ и гипотенузами $AB=BC=AC=1\text{.}$ По теореме Пифагора:

$$D{A}^2+D{B}^2=D{B}^2+D{C}^2=D{A}^2+D{C}^2=1,$$

откуда $DA=DB=DC\text{.}$

Опустим из $D$ перпендикуляр $DO$ на плоскость $ABC\text{.}$ Поскольку наклонные $DA\text{,}$ $DB\text{,}$ $DC$ равны, их основания равноудалены от $O\text{,}$ т.е. $OA=OB=OC$ — точка $O$ является центром описанной около $△ABC$ окружности. Так как $△ABC$ — равносторонний (по условию все стороны равны 1), $O$ совпадает с его центром. Значит, вершина $D$ проектируется в центр правильного основания — пирамида $ABCD$ правильная.

Б) Из $DA=DB=DC$ и $D{A}^2+D{B}^2=1$ получаем $DA=DB=DC=\frac{1}{\sqrt{2}}\text{.}$

Введём систему координат с началом в $D\text{,}$ ось $Ox$ вдоль $DA\text{,}$ ось $Oy$ вдоль $DC\text{,}$ ось $Oz$ вдоль $DB\text{.}$ Из пропорций $DM:MA=DN:NC=2:5$ имеем $DM=\frac{2}{7}DA\text{,}$ $DN=\frac{2}{7}DC\text{.}$ Удобно положить $DA=DB=DC=7\ell \text{.}$ Тогда $(7\ell {)}^2+(7\ell {)}^2=1\text{,}$ $98{\ell }^2=1\text{,}$ $\ell =\frac{1}{7\sqrt{2}}\text{.}$

Координаты вершин и точек:

$$D=(0;0;0),M=(2\ell ;0;0),N=(0;2\ell ;0),B=(0;0;7\ell ).$$

Уравнение плоскости $MNB$ в отрезках:

$$\frac{x}{2\ell }+\frac{y}{2\ell }+\frac{z}{7\ell }=1|\cdot 14\ell ;7x+7y+2z-14\ell =0.$$

Расстояние от $D(0;0;0)$ до этой плоскости:

$$\rho (D,MNB)=\frac{|-14\ell |}{\sqrt{7^2+7^2+2^2}}=\frac{14\ell }{\sqrt{102}}=\frac{14}{7\sqrt{2}\cdot \sqrt{102}}=\frac{2}{\sqrt{204}}=\frac{1}{\sqrt{51}}=\frac{\sqrt{51}}{51}.$$

Ответ: $\frac{\sqrt{51}}{51}$ (или $\frac{1}{\sqrt{51}}$).