В пирамиде ABCD рёбра DA , DB и DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = 1 . На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM : MA = DN : NC = 2 : 5 . А) Докажите, что пирамида ABCD правильная. Б) Найдите расстояние от точки D до плоскости MNB .

А) Так как рёбра DA , DB , DC попарно перпендикулярны, то треугольники ADB , BDC , ADC — прямоугольные с прямым углом при вершине D и гипотенузами AB = BC = AC = 1 . По теореме Пифагора: DA^(2) + DB^(2) = DB^(2) + DC^(2) = DA^(2) + DC^(2) = 1, откуда DA = DB = DC . Опустим из D перпендикуляр DO на плоскость ABC . Поскольку наклонные DA , DB , DC равны, их основания равноудалены от O , т.е. OA = OB = OC — точка O является центром описанной около ABC окружности. Так как ABC — равносторонний (по условию все стороны равны 1), O совпадает с его центром. Значит, вершина D проектируется в центр правильного основания — пирамида ABCD правильная. Б) Из DA = DB = DC и DA^(2) + DB^(2) = 1 получаем DA = DB = DC = (1)/(sqrt(2)) . Введём систему координат с началом в D , ось Ox вдоль DA , ось Oy вдоль DC , ось Oz вдоль DB . Из пропорций DM : MA = DN : NC = 2 : 5 имеем DM = (2)/(7) DA , DN = (2)/(7) DC . Удобно положить DA = DB = DC = 7 . Тогда (7)^(2) + (7)^(2) = 1 , 98^(2) = 1 , = (1)/(7sqrt(2)) . Координаты вершин и точек: D = (0;0;0), M = (2;0;0), N = (0;2;0), B = (0;0;7). Уравнение плоскости MNB в отрезках: (x)/(2) + (y)/(2) + (z)/(7) = 1 |* 14; 7x + 7y + 2z - 14 = 0. Расстояние от D(0;0;0) до этой плоскости: (D,MNB) = (|-14|)/(sqrt(7^(2) + 7^(2) + 2^(2))) = (14)/(sqrt(102)) = (14)/(7sqrt(2) * sqrt(102)) = (2)/(sqrt(204)) = (1)/(sqrt(51)) = (sqrt(51))/(51). Ответ: (sqrt(51))/(51) (или (1)/(sqrt(51)) ).

$\dfrac{\sqrt{51}}{51}$ (или $\dfrac{1}{\sqrt{51}}$)