Точка F лежит на меньшей дуге BC окружности, описанной около квадрата ABCD , причём FCB = 2 * FBC . AF пересекает сторону BC в точке T , а диагональ BD — в точке O . а) Докажите, что TO = TC . б) Найдите длину стороны квадрата, если BO = 1 .

Подготовительные углы. Обозначим FBC = alpha , тогда FCB = 2alpha . Так как точка F лежит на меньшей дуге BC окружности, описанной около квадрата ABCD , и точки A , F лежат по разные стороны от хорды BC , вписанный угол BFC опирается на бо́льшую дугу BAC , равную 360^ - 90^ = 270^ . Поэтому BFC = (270^)/(2) = 135^ . Из суммы углов треугольника BFC : alpha + 2alpha + 135^ = 180^ =>alpha = 15^. Значит FBC = 15^ , FCB = 30^ . Дуга BF = 2 * FCB = 60^ , дуга FC = 2 * FBC = 30^ (сумма 90^ — это дуга BC ). Вписанный угол BAF опирается на дугу BF : BAF = (60^)/(2) = 30^. а) Доказательство TO = TC . Точка T лежит на стороне BC , ABT = 90^ (угол квадрата). В прямоугольном треугольнике ABT : ATB = 90^ - BAT = 90^ - 30^ = 60^. Так как T лежит между B и C , лучи TB и TC противоположны, поэтому ATC = 180^ - 60^ = 120^ . Точка O лежит на отрезке AT (на прямой AF между A и T , так как BD пересекает AF внутри квадрата), значит OTC = ATC = 120^. Далее найдём OCT = OCB . Так как BD — диагональ квадрата, OBC = DBC = 45^ . В треугольнике BOT : BOT = 180^ - OBT - OTB = 180^ - 45^ - 60^ = 75^. По теореме синусов в треугольнике BOT : (OT)/(sin 45^) = (BT)/(sin 75^). В прямоугольном треугольнике ABT имеем BT = AB * tg 30^ = (AB)/(sqrt(3)) . Тогда OT = (AB)/(sqrt(3)) * (sin 45^)/(sin 75^). С другой стороны, TC = BC - BT = AB - (AB)/(sqrt(3)) = (AB(sqrt(3) - 1))/(sqrt(3)). Используем sin 75^ = (sqrt(6) + sqrt(2))/(4) и sin 45^ = (sqrt(2))/(2) : (sin 45^)/(sin 75^) = (sqrt(2)/2)/((sqrt(6) + sqrt(2))/4) = (2sqrt(2))/(sqrt(6) + sqrt(2)) = (2sqrt(2)(sqrt(6) - sqrt(2)))/((sqrt(6))^2 - (sqrt(2))^2) = (2sqrt(2)(sqrt(6) - sqrt(2)))/(4) = (sqrt(12) - 2)/(2) = sqrt(3) - 1. Поэтому OT = (AB)/(sqrt(3)) * (sqrt(3) - 1) = (AB(sqrt(3) - 1))/(sqrt(3)) = TC. Равенство TO = TC доказано. б) Длина стороны квадрата. По теореме синусов в треугольнике BOT : (BO)/(sin BTO) = (BT)/(sin BOT), то есть (BO)/(sin 60^) = (BT)/(sin 75^). Отсюда, обозначив сторону квадрата a : BO = (BT * sin 60^)/(sin 75^) = ((a/sqrt(3)) * (sqrt(3)/2))/((sqrt(6) + sqrt(2))/4) = ((a/2) * 4)/(sqrt(6) + sqrt(2)) = (2a)/(sqrt(6) + sqrt(2)) = (2a(sqrt(6) - sqrt(2)))/(4) = (a(sqrt(6) - sqrt(2)))/(2). Из условия BO = 1 : (a(sqrt(6) - sqrt(2)))/(2) = 1 =>a = (2)/(sqrt(6) - sqrt(2)) = (2(sqrt(6) + sqrt(2)))/(6 - 2) = (sqrt(6) + sqrt(2))/(2) = (sqrt(2)(sqrt(3) + 1))/(2) = (sqrt(3) + 1)/(sqrt(2)). Ответ: б) (sqrt(3) + 1)/(sqrt(2))

Б) $\dfrac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}$