Точка F лежит на меньшей дуге BC окружности, описанной около квадрата ABCD, причём ∠FCB=2⋅∠FBC. AF пересекает сторону BC в точке T, а диагональ BD — в точке O.
а) Докажите, что TO=TC.
б) Найдите длину стороны квадрата, если BO=1.
Подготовительные углы. Обозначим ∠FBC=α, тогда ∠FCB=2α. Так как точка F лежит на меньшей дуге BC окружности, описанной около квадрата ABCD, и точки A, F лежат по разные стороны от хорды BC, вписанный угол ∠BFC опирается на бо́льшую дугу BAC, равную 360∘−90∘=270∘. Поэтому ∠BFC=2270∘=135∘.
Из суммы углов треугольника BFC:
α+2α+135∘=180∘⇒α=15∘.Значит ∠FBC=15∘, ∠FCB=30∘. Дуга BF=2⋅∠FCB=60∘, дуга FC=2⋅∠FBC=30∘ (сумма 90∘ — это дуга BC).
Вписанный угол ∠BAF опирается на дугу BF:
∠BAF=260∘=30∘.а) Доказательство TO=TC.
Точка T лежит на стороне BC, ∠ABT=90∘ (угол квадрата). В прямоугольном треугольнике ABT:
∠ATB=90∘−∠BAT=90∘−30∘=60∘.Так как T лежит между B и C, лучи TB и TC противоположны, поэтому ∠ATC=180∘−60∘=120∘. Точка O лежит на отрезке AT (на прямой AF между A и T, так как BD пересекает AF внутри квадрата), значит
∠OTC=∠ATC=120∘.Далее найдём ∠OCT=∠OCB. Так как BD — диагональ квадрата, ∠OBC=∠DBC=45∘. В треугольнике BOT:
∠BOT=180∘−∠OBT−∠OTB=180∘−45∘−60∘=75∘.По теореме синусов в треугольнике BOT:
sin45∘OT=sin75∘BT.В прямоугольном треугольнике ABT имеем BT=AB⋅tg30∘=3AB. Тогда
OT=3AB⋅sin75∘sin45∘.С другой стороны,
TC=BC−BT=AB−3AB=3AB(3−1).Используем sin75∘=46+2 и sin45∘=22:
sin75∘sin45∘=(6+2)/42/2=6+222=(6)2−(2)222(6−2)=422(6−2)=212−2=3−1.Поэтому
OT=3AB⋅(3−1)=3AB(3−1)=TC.Равенство TO=TC доказано.
б) Длина стороны квадрата.
По теореме синусов в треугольнике BOT:
sin∠BTOBO=sin∠BOTBT,то есть
sin60∘BO=sin75∘BT.Отсюда, обозначив сторону квадрата a:
BO=sin75∘BT⋅sin60∘=(6+2)/4(a/3)⋅(3/2)=6+2(a/2)⋅4=6+22a=42a(6−2)=2a(6−2).Из условия BO=1:
2a(6−2)=1⇒a=6−22=6−22(6+2)=26+2=22(3+1)=23+1.Ответ:
б) 23+1
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
Ларин