Задача №16777

Найдите значение выражения

$$\frac{\sqrt{300}{\cos }^2\frac{11\pi }{12}-\sqrt{75}}{5\mathrm{tg}35^{\circ }\cdot \mathrm{tg}55^{\circ }}.$$

Знаменатель. Так как $55^{\circ }=90^{\circ }-35^{\circ }\text{,}$ имеем

$$\mathrm{tg}55^{\circ }=\mathrm{ctg}35^{\circ }=\frac{1}{\mathrm{tg}35^{\circ }},$$

поэтому $\mathrm{tg}35^{\circ }\cdot \mathrm{tg}55^{\circ }=1\text{,}$ и весь знаменатель равен $5\cdot 1=5\text{.}$

Числитель. Упростим ${\cos }^2\frac{11\pi }{12}\text{.}$ Так как $\frac{11\pi }{12}=\pi -\frac{\pi }{12}\text{,}$ то $\cos \frac{11\pi }{12}=-\cos \frac{\pi }{12}\text{,}$ и

$${\cos }^2\frac{11\pi }{12}={\cos }^2\frac{\pi }{12}=\frac{1+\cos \frac{\pi }{6}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}.$$

Используя $\sqrt{300}=10\sqrt{3}$ и $\sqrt{75}=5\sqrt{3}\text{,}$ получаем

$$\sqrt{300}\cdot {\cos }^2\frac{11\pi }{12}-\sqrt{75}=10\sqrt{3}\cdot \frac{2+\sqrt{3}}{4}-5\sqrt{3}=\frac{20\sqrt{3}+30}{4}-5\sqrt{3}=5\sqrt{3}+7,5-5\sqrt{3}=7,5.$$

Итог:

$$\frac{7,5}{5}=1,5.$$

Ответ: $1,5\text{.}$