Решите уравнение 9^(1+2sqrt(x)) - 28 * 9^(sqrt(x)) + 3 = 0 .

Задача №16775: Простейшие уравнения

Преобразуем уравнение

9^{1 + 2 x} - 28 \cdot 9^{x} + 3 = 0.

Область допустимых значений: $x ⩾ 0 .$

Заметим, что $9^{1 + 2 x} = 9 \cdot 9^{2 x} = 9 \cdot (9^{x})^{2} .$ Сделаем замену $t = 9^{x} > 0 :$

9 t^{2} - 28 t + 3 = 0.

Дискриминант:

D = 2 8^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 3 = 784 - 108 = 676 = 2 6^{2} .

Тогда

t_{1, 2} = \frac{28 \pm 26}{18} .

Корни: $t_{1} = 3,$ $t_{2} = \frac{1}{9} .$

Случай 1:

9^{x} = 3 \Leftrightarrow 3^{2 x} = 3^{1} \Leftrightarrow 2 x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4} = 0, 25.

Случай 2:

9^{x} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow 9^{x} = 9^{- 1} \Leftrightarrow x = - 1.

Не имеет решений, так как $x ⩾ 0 .$

Ответ: $0, 25 .$