Решите уравнение 3^(x) + sqrt(3^(x+2) * 7^(x)) = 3 * 7^(x) + sqrt(21^(x)) .

Задача №16774: Простейшие уравнения

Преобразуем подкоренное выражение слева:

3^{x + 2} \cdot 7^{x} = 9 \cdot 3^{x} \cdot 7^{x} = 9 \cdot 2 1^{x},

поэтому $3^{x + 2} \cdot 7^{x} = 3 2 1^{x} .$

Уравнение принимает вид:

3^{x} + 3 2 1^{x} = 3 \cdot 7^{x} + 2 1^{x} .

Сгруппируем:

3^{x} - 3 \cdot 7^{x} + 2 2 1^{x} = 0 \Leftrightarrow 3^{x} - 3 \cdot 7^{x} + 2 3^{x} \cdot 7^{x} = 0.

Разделим обе части на $3^{x} \cdot 7^{x} > 0$ и обозначим $t = (3/7)^{x} > 0 :$

t - \frac{3}{t} + 2 = 0 \Leftrightarrow t^{2} + 2 t - 3 = 0 \Leftrightarrow (t - 1) (t + 3) = 0.

Так как $t > 0,$ то $t = 1,$ т.е. $(3/7)^{x /2} = 1,$ откуда $x = 0 .$

Проверка:

3^{0} + 3^{2} \cdot 7^{0} = 1 + 3 = 4, 3 \cdot 7^{0} + 2 1^{0} = 3 + 1 = 4.

Совпало.

Ответ: $0 .$