Задача №16772

Абитуриенты сдавали экзамены в течение трёх дней в одних и тех же аудиториях. Число экзаменовавшихся каждый день абитуриентов в каждой аудитории было равно числу аудиторий. Если бы экзамены проводились в другом корпусе, то их можно было бы провести в два дня, используя каждый день одни и те же аудитории, причём каждый день в каждой аудитории абитуриентов удалось бы рассадить так, что число рядов, а также число людей в ряду было бы равным числу аудиторий.

а) Может ли сумма числа аудиторий в обоих корпусах быть равна $24\text{?}$
б) Найдите наименьшее возможное значение суммы числа аудиторий в обоих корпусах.
в) Найдите минимально возможное число абитуриентов, которые могли быть проэкзаменованы при этих условиях.

Пусть в первом корпусе $n$ аудиторий. Тогда в каждой аудитории каждый день $n$ абитуриентов (по условию: число экзаменовавшихся равно числу аудиторий). За день в первом корпусе экзаменовались $n\cdot n=n^2$ абитуриентов, за $3$ дня — $3n^2\text{.}$

Пусть во втором корпусе $m$ аудиторий. По условию рассадка в каждой аудитории — $m$ рядов по $m$ человек, то есть $m^2$ абитуриентов в день в одной аудитории, $m\cdot m^2=m^3$ во всех $m$ аудиториях за день, и $2m^3$ за $2$ дня.

Число абитуриентов одно и то же:

$$3n^2=2m^3.$$

Анализ делимости. Из равенства $3n^2=2m^3\text{:}$

— $n$ делится на $2$ (правая часть кратна $2$). Тогда $n^2$ кратно $4\text{,}$ и $2m^3$ кратно $4\text{,}$ то есть $m^3$ чётно, $m$ кратно $2\text{.}$

— $m$ кратно $3$ (правая часть умножена на $2\text{,}$ левая — на $3\text{,}$ поэтому $m^3$ должно содержать множитель $3\text{,}$ а значит $m$ кратно $3$). Тогда $m^3$ кратно $27\text{,}$ и $n^2$ кратно $9\text{,}$ то есть $n$ кратно $3\text{.}$

Пусть $n=2x\text{,}$ $m=3y\text{.}$ Тогда

$$3\cdot 4x^2=2\cdot 27y^3\iff 2x^2=9y^3.$$

Аналогично, $x$ кратно $3\text{,}$ $y$ кратно $2\text{.}$ Пусть $x=3s\text{,}$ $y=2t\text{:}$

$$2\cdot 9s^2=9\cdot 8t^3\iff s^2=4t^3,$$

откуда $s$ чётно, $s=2r\text{:}$

$$4r^2=4t^3\iff r^2=t^3.$$

Из $r^2=t^3$ следует, что существует натуральное $k$ такое, что $r=k^3\text{,}$ $t=k^2\text{.}$ Тогда

$$n=2x=6s=12r=12k^3,m=3y=6t=6k^2.$$

Сумма:

$$n+m=12k^3+6k^2=6k^2(2k+1).$$

а) Проверим, может ли $6k^2(2k+1)=24$ для натурального $k\text{.}$ При $k=1\text{:}$ $6\cdot 3=18\text{;}$ при $k=2\text{:}$ $24\cdot 5=120\text{.}$ Целочисленных решений нет.

б) Минимум $n+m=6k^2(2k+1)$ достигается при $k=1\text{:}$

$$n+m=18(\text{при }n=12,m=6).$$

в) Минимально возможное число абитуриентов:

$$3n^2=3\cdot 12^2=3\cdot 144=432(=2m^3=2\cdot 6^3=432).$$

Ответ:

а) Нет

б) $18$

в) $432$