Абитуриенты сдавали экзамены в течение трёх дней в одних и тех же аудиториях. Число экзаменовавшихся каждый день абитуриентов в каждой аудитории было равно числу аудиторий. Если бы экзамены проводились в другом корпусе, то их можно было бы провести в два дня, используя каждый день одни и те же аудитории, причём каждый день в каждой аудитории абитуриентов удалось бы рассадить так, что число рядов, а также число людей в ряду было бы равным числу аудиторий. а) Может ли сумма числа аудиторий в обоих корпусах быть равна 24 ? б) Найдите наименьшее возможное значение суммы числа аудиторий в обоих корпусах. в) Найдите минимально возможное число абитуриентов, которые могли быть проэкзаменованы при этих условиях.

Пусть в первом корпусе n аудиторий. Тогда в каждой аудитории каждый день n абитуриентов (по условию: число экзаменовавшихся равно числу аудиторий). За день в первом корпусе экзаменовались n * n = n^2 абитуриентов, за 3 дня — 3n^2 . Пусть во втором корпусе m аудиторий. По условию рассадка в каждой аудитории — m рядов по m человек, то есть m^2 абитуриентов в день в одной аудитории, m * m^2 = m^3 во всех m аудиториях за день, и 2m^3 за 2 дня. Число абитуриентов одно и то же: 3n^2 = 2m^3. Анализ делимости. Из равенства 3n^2 = 2m^3 : — n делится на 2 (правая часть кратна 2 ). Тогда n^2 кратно 4 , и 2m^3 кратно 4 , то есть m^3 чётно, m кратно 2 . — m кратно 3 (правая часть умножена на 2 , левая — на 3 , поэтому m^3 должно содержать множитель 3 , а значит m кратно 3 ). Тогда m^3 кратно 27 , и n^2 кратно 9 , то есть n кратно 3 . Пусть n = 2x , m = 3y . Тогда 3 * 4x^2 = 2 * 27 y^3 <=>2x^2 = 9y^3. Аналогично, x кратно 3 , y кратно 2 . Пусть x = 3s , y = 2t : 2 * 9 s^2 = 9 * 8 t^3 <=>s^2 = 4t^3, откуда s чётно, s = 2r : 4r^2 = 4t^3 <=>r^2 = t^3. Из r^2 = t^3 следует, что существует натуральное k такое, что r = k^3 , t = k^2 . Тогда n = 2x = 6s = 12r = 12k^3, m = 3y = 6t = 6k^2. Сумма: n + m = 12k^3 + 6k^2 = 6k^2(2k + 1). а) Проверим, может ли 6k^2(2k + 1) = 24 для натурального k . При k = 1 : 6 * 3 = 18 ; при k = 2 : 24 * 5 = 120 . Целочисленных решений нет. б) Минимум n + m = 6k^2(2k+1) достигается при k = 1 : n + m = 18 (при n = 12,m = 6). в) Минимально возможное число абитуриентов: 3n^2 = 3 * 12^2 = 3 * 144 = 432 (= 2m^3 = 2 * 6^3 = 432). Ответ: а) Нет б) 18 в) 432

А) Нет; Б) $18$; В) $432$.