Натуральное число, представимое в виде (1)/(2)n(n+1) , где ninN , называется треугольным. Рассмотрим треугольные числа, в десятичной записи которых нет цифры 9, такие что если каждую цифру числа увеличить на 1, то полученное число также является треугольным. А) Можно ли указать такое двузначное число? Б) Существуют ли такие трёхзначные числа? В) Найдите все такие четырёхзначные числа.

Обозначим искомое треугольное число m = (1)/(2)n(n+1) (без цифры 9 в десятичной записи). Если каждую цифру m увеличить на 1 , получим число m' с тем же количеством разрядов; при этом m' = m + 11 1_(столько же разрядов) . По условию m' = (1)/(2)k(k+1) . А) При n = 10 : m = (10* 11)/(2) = 55 . При n = 11 : m' = (11* 12)/(2) = 66 = 55 + 11 . Цифры 5,5 при увеличении на 1 дают 6,6 — двузначное число 66 также треугольное. Подходит число 55 . Б) При n = 15 : m = (15* 16)/(2) = 120 . При n = 21 : m' = (21* 22)/(2) = 231 = 120 + 111 . Цифры 1,2,0 при увеличении на 1 дают 2,3,1 , и 231 — треугольное. Подходит число 120 (другой пример: 630 при n = 35 , m' = 741 при n = 38 ). В) Пусть m = abcd — четырёхзначное треугольное число без цифры 9 , a in 1;;8 , b,c,d in 0;1;;8 , m = (1)/(2)n(n+1) . Тогда m' = m + 1111 = (1)/(2)k(k+1) и m' - m = 1111 = (1)/(2)(k(k+1) - n(n+1)) = (1)/(2)(k-n)(k+n+1), откуда (k-n)(k+n+1) = 2222 = 2* 11* 101. Поскольку k - n < k + n + 1 , перебираем разложения 2222 на два множителя u* v с u < v : 1. u = 1, v = 2222 : k - n = 1 , k + n + 1 = 2222 => n = 1110 , m = (1110* 1111)/(2) > 9999 (пятизначное). 2. u = 2, v = 1111 : k - n = 2 , k + n + 1 = 1111 => n = 554 , m = (554* 555)/(2) > 9999 (шестизначное). 3. u = 11, v = 202 : k - n = 11 , k + n + 1 = 202 => n = 95, k = 106 , m = (95* 96)/(2) = 4560 , m' = (106* 107)/(2) = 5671 — оба четырёхзначные. 4. u = 22, v = 101 : k - n = 22 , k + n + 1 = 101 => n = 39 , m = (39* 40)/(2) = 780 (трёхзначное). Проверка: 4560 — цифры 4,5,6,0 (нет цифры 9 ); увеличиваем каждую на 1 : 5,6,7,1 , получаем 5671 = m' — действительно треугольное число. Ответ: А) Да (например, 55 ) Б) Да (например, 120 ) В) 4560

А) Да (пример: $55$). Б) Да (пример: $120$). В) $4560$.