Задача №16768

На рисунке изображён график функции $f(x)=a{x}^2+bx+c\text{,}$ где числа $a\text{,}$ $b$ и $c$ — целые. Найдите значение $f(-4)\text{.}$

На рисунке показана парабола ветвями вниз; график проходит через точки $(0;-3)\text{,}$ $(2;5)$ и имеет вершину в окрестности $x=3\text{.}$

С графика считываем три значения функции: $f(0)=-3\text{,}$ $f(2)=5\text{,}$ $f(3)=6\text{.}$

Подставляя в $f(x)=a{x}^2+bx+c\text{,}$ получаем систему:

$$\{\begin{array}{l}c=-3,\\ 4a+2b+c=5,\\ 9a+3b+c=6.\end{array}$$

Подставляя $c=-3\text{:}$

$$\{\begin{array}{l}4a+2b=8,\\ 9a+3b=9;\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2a+b=4,\\ 3a+b=3.\end{array}$$

Вычитая первое уравнение из второго, получаем $a=-1\text{,}$ тогда $b=6\text{.}$

Итак, $f(x)=-x^2+6x-3\text{.}$

Найдём:

$$f(-4)=-(-4{)}^2+6\cdot (-4)-3=-16-24-3=-43.$$

Ответ: $-43\text{.}$