Задача №16766

По графику читаем характерные точки прямой $g(x)=kx+b\text{:}$ она проходит через $(0;7)$ и пересекает ось абсцисс в точке $(42;0)\text{.}$ Значит $b=7\text{,}$ $k=-\frac{1}{6}\text{,}$ и

$$g(x)=7-\frac{x}{6}.$$

Кривая $f(x)=a\sqrt{x}$ проходит через точку $(36;1)$ графика — единственная отметка $y=1$ согласована с координатной сеткой. Тогда $a\sqrt{36}=1\text{,}$ откуда $a=\frac{1}{6}\text{,}$ $f(x)=\frac{\sqrt{x}}{6}\text{.}$

Находим абсциссу точки пересечения:

$$\frac{\sqrt{x}}{6}=7-\frac{x}{6}\iff \sqrt{x}=42-x.$$

ОДЗ: $x⩾0$ и $42-x⩾0\text{,}$ то есть $0⩽x⩽42\text{.}$ Возводим в квадрат:

$$x=(42-x{)}^2=1764-84x+x^2\iff x^2-85x+1764=0.$$

Дискриминант $D=85^2-4\cdot 1764=7225-7056=169\text{.}$ Корни:

$$x_{1,2}=\frac{85\pm 13}{2}=36\text{или}49.$$

Корень $x=49$ не удовлетворяет ОДЗ ($49>42\text{,}$ $\sqrt{49}=7\text{,}$ $42-49=-7$ — посторонний). Подходит $x=36\text{.}$

Ответ: $36\text{.}$