Найдите наибольшее значение функции y = x + ln(-x) на отрезке [-ln 4;-ln 2] .

Функция y = x + ln(-x) определена при -x > 0 , то есть x < 0 . Весь отрезок [-ln 4;-ln 2] лежит в области определения, так как -ln 4 ~ -1,386 и -ln 2 ~ -0,693 . Найдём производную: y' = 1 + ((-x)')/(-x) = 1 + (-1)/(-x) = 1 + (1)/(x) = (x+1)/(x). Критическая точка: y' = 0 => x = -1 . Знаки производной (при x < 0 знаменатель отрицателен): 1. при x < -1 : x + 1 < 0 , отношение y' > 0 — функция возрастает; 2. при -1 < x < 0 : x + 1 > 0 , отношение y' < 0 — функция убывает. Значит, x = -1 — точка локального (а на нашем отрезке — глобального) максимума функции. Проверим, лежит ли точка x = -1 в отрезке [-ln 4;-ln 2] . Поскольку ln 2 < 1 < ln 4 , то -ln 4 < -1 < -ln 2 . Да, точка x = -1 принадлежит отрезку. Значение в точке максимума: y(-1) = -1 + ln(-(-1)) = -1 + ln 1 = -1. Ответ: -1 .

-1