В равнобедренной трапеции ABCD BC AD , угол BCD — тупой. Через точку B проведена прямая, параллельная прямой CD и пересекающая прямую AD в точке E . На продолжении BE за точку E отмечена точка F такая, что DE = DF . а) Докажите, что точки A , F , C и D лежат на одной окружности. б) Найдите расстояние от точки C до прямой AF , если BD = 10 и cos ADC = 0,6 .

а) В равнобедренной трапеции ABCD ( BC AD ) суммы противоположных углов равны 180^ , поэтому около неё можно описать окружность . Через любые три из четырёх вершин A, B, C, D проходит ровно одна окружность, и все эти окружности совпадают с . Так как BE CD и E лежит на прямой AD , четырёхугольник EBCD — параллелограмм, поэтому BC = ED . По условию ED = DF , значит BC = DF . Рассмотрим четырёхугольник BCDF : CD BF (так как F лежит на продолжении BE , а BE CD ), а боковые стороны BC и DF равны. Следовательно, BCDF — равнобокая трапеция, около неё также можно описать окружность. Эта окружность проходит через три точки B , C , D , общие с , поэтому совпадает с . Значит, точка F лежит на , и точки A , F , C , D принадлежат одной окружности. б) Пусть H — основание перпендикуляра, опущенного из C на прямую AF , тогда искомое расстояние (C, AF) = CH . Диагонали равнобокой трапеции равны: BD = AC = 10 . Обозначим BAD = alpha . Тогда sin alpha = sqrt(1 - cos^(2)alpha) = sqrt(1 - 0,36) = 0,8. Углы BAC и DAF как вписанные в окружность опираются на равные хорды BC и DF , поэтому BAC = DAF . Обозначим эту общую величину через beta . Тогда CAF = CAD + DAF = CAD + beta, BAD = BAC + CAD = beta + CAD, и, следовательно, CAF = BAD = alpha . В прямоугольном треугольнике ACH ( AHC = 90^ ): CH = AC * sin CAH = AC * sin alpha = 10 * 0,8 = 8. Ответ: 8 .

8