В равнобедренной трапеции ABCD BC∥AD, угол BCD — тупой. Через точку B проведена прямая, параллельная прямой CD и пересекающая прямую AD в точке E. На продолжении BE за точку E отмечена точка F такая, что DE=DF.
а) Докажите, что точки A, F, C и D лежат на одной окружности.
б) Найдите расстояние от точки C до прямой AF, если BD=10 и cos∠ADC=0,6.
а) В равнобедренной трапеции ABCD (BC∥AD) суммы противоположных углов равны 180∘, поэтому около неё можно описать окружность ω. Через любые три из четырёх вершин A,B,C,D проходит ровно одна окружность, и все эти окружности совпадают с ω.
Так как BE∥CD и E лежит на прямой AD, четырёхугольник EBCD — параллелограмм, поэтому BC=ED. По условию ED=DF, значит BC=DF.
Рассмотрим четырёхугольник BCDF: CD∥BF (так как F лежит на продолжении BE, а BE∥CD), а боковые стороны BC и DF равны. Следовательно, BCDF — равнобокая трапеция, около неё также можно описать окружность. Эта окружность проходит через три точки B, C, D, общие с ω, поэтому совпадает с ω. Значит, точка F лежит на ω, и точки A, F, C, D принадлежат одной окружности.
б) Пусть H — основание перпендикуляра, опущенного из C на прямую AF, тогда искомое расстояние ρ(C,AF)=CH.
Диагонали равнобокой трапеции равны: BD=AC=10. Обозначим ∠BAD=α. Тогда
sinα=1−cos2α=1−0,36=0,8.Углы ∠BAC и ∠DAF как вписанные в окружность ω опираются на равные хорды BC и DF, поэтому ∠BAC=∠DAF. Обозначим эту общую величину через β. Тогда
∠CAF=∠CAD+∠DAF=∠CAD+β, ∠BAD=∠BAC+∠CAD=β+∠CAD,и, следовательно, ∠CAF=∠BAD=α.
В прямоугольном треугольнике ACH (∠AHC=90∘):
CH=AC⋅sin∠CAH=AC⋅sinα=10⋅0,8=8.Ответ: 8.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
Ларин