Решите неравенство sqrt((x - 2)(2^(2x) - 7 * 2^x + 10)) |x - 1|(2^(2x) - 7 * 2^x + 10) + (x - 2)/(|x - 1|).

Заметим, что 2^(2x) - 7 * 2^x + 10 = (2^x)^2 - 7 * 2^x + 10 = (2^x - 2)(2^x - 5). 1. Условие |x - 1| != 0 необходимо (иначе знаменатель в правой части не определён): x != 1 . При x != 1 имеем |x - 1| = sqrt((x - 1)^2) , поэтому неравенство равносильно (после умножения и учёта |x-1|^2 = (x-1)^2 ): sqrt((x - 2)(x - 1)^2(2^x - 2)(2^x - 5)) (x - 2) + (x - 1)^2(2^x - 2)(2^x - 5). 2. Введём a = x - 2 , b = (x - 1)^2(2^x - 2)(2^x - 5) . Неравенство принимает вид sqrt(ab) a + b при ОДЗ ab 0 . Случай 1. a = 0 , то есть x = 2 . Тогда b = 1 * (4 - 2)(4 - 5) = -2 , sqrt(0) = 0 -2 — верно. x = 2 — решение. Случай 2. b = 0 . Тогда (2^x - 2)(2^x - 5) = 0 (множитель (x-1)^2 != 0 ), что даёт x = 1 (исключено) или x = _2 5 > 2 , при котором a = _2 5 - 2 > 0 . Имеем 0 a > 0 — ложно. Не подходит. Случай 3. a > 0 и b > 0 . Возведём sqrt(ab) a + b > 0 в квадрат: ab a^2 + 2ab + b^2, то есть a^2 + ab + b^2 0 . Левая часть равна (a + (b)/(2))^2 + (3b^2)/(4) > 0 при b > 0 — противоречие. Решений нет. Случай 4. a < 0 и b < 0 . Тогда a + b < 0 , sqrt(ab) 0 > a + b автоматически. 1. a < 0 <=> x < 2 . 2. b < 0 <=> (2^x - 2)(2^x - 5) < 0 (т.к. (x-1)^2 > 0 при x != 1 ), <=> 2 < 2^x < 5 <=> 1 < x < _2 5 . 3. Пересечение: x < 2 и 1 < x < _2 5 . Поскольку _2 5 > 2 , получаем 1 < x < 2 . Объединяя случаи 1 и 4: x in (1; 2] . Ответ: (1; 2] .

$(1;\ 2]$