Задача №16763

Решите неравенство

$$\sqrt{(x-2)\left(2^{2x}-7\cdot 2^x+10\right)}⩾|x-1|\left(2^{2x}-7\cdot 2^x+10\right)+\frac{x-2}{|x-1|}.$$

Заметим, что

$$2^{2x}-7\cdot 2^x+10=(2^x{)}^2-7\cdot 2^x+10=(2^x-2)(2^x-5).$$

1. Условие $|x-1|\ne 0$ необходимо (иначе знаменатель в правой части не определён): $x\ne 1\text{.}$ При $x\ne 1$ имеем $|x-1|=\sqrt{(x-1{)}^2}\text{,}$ поэтому неравенство равносильно (после умножения и учёта $|x-1{|}^2=(x-1{)}^2$):

$$\sqrt{(x-2)(x-1{)}^2(2^x-2)(2^x-5)}⩾(x-2)+(x-1{)}^2(2^x-2)(2^x-5).$$

2. Введём $a=x-2\text{,}$ $b=(x-1{)}^2(2^x-2)(2^x-5)\text{.}$ Неравенство принимает вид $\sqrt{ab}⩾a+b$ при ОДЗ $ab⩾0\text{.}$

Случай 1. $a=0\text{,}$ то есть $x=2\text{.}$ Тогда $b=1\cdot (4-2)(4-5)=-2\text{,}$ $\sqrt{0}=0⩾-2$ — верно. $x=2$ — решение.

Случай 2. $b=0\text{.}$ Тогда $(2^x-2)(2^x-5)=0$ (множитель $(x-1{)}^2\ne 0$), что даёт $x=1$ (исключено) или $x={\log }_{2}5>2\text{,}$ при котором $a={\log }_{2}5-2>0\text{.}$ Имеем $0⩾a>0$ — ложно. Не подходит.

Случай 3. $a>0$ и $b>0\text{.}$ Возведём $\sqrt{ab}⩾a+b>0$ в квадрат:

$$ab⩾a^2+2ab+b^2,$$

то есть $a^2+ab+b^2⩽0\text{.}$ Левая часть равна ${\left(a+\frac{b}{2}\right)}^2+\frac{3b^2}{4}>0$ при $b>0$ — противоречие. Решений нет.

Случай 4. $a<0$ и $b<0\text{.}$ Тогда $a+b<0\text{,}$ $\sqrt{ab}⩾0>a+b$ автоматически.

1. $a<0\iff x<2\text{.}$
2. $b<0\iff (2^x-2)(2^x-5)<0$ (т.к. $(x-1{)}^2>0$ при $x\ne 1$), $\iff 2<2^x<5\iff 1<x<{\log }_{2}5\text{.}$
3. Пересечение: $x<2$ и $1<x<{\log }_{2}5\text{.}$ Поскольку ${\log }_{2}5>2\text{,}$ получаем $1<x<2\text{.}$

Объединяя случаи 1 и 4: $x\in (1;2]\text{.}$

Ответ: $(1;2]\text{.}$