На сторонах квадрата ABCD взяли точки K и E так, что угол ABK равен 15^ , а угол EKD равен 30^ . Найдите угол KBE .

Задача №16761: Простейшая планиметрия

Опустим перпендикуляр $B F$ на $K E$ и продлим отрезки $A B$ и $K E$ до пересечения в точке $N .$ Пусть $K F = A K = 3 .$

Тогда:

A N = 1, N K = 2, N F = 2 + 3,

B N = 2 \cdot N F = 4 + 23,

A D = A B = B N - A N = 3 + 23,

K D = A D - A K = 3 + 3,

K E = \frac{2}{3} \cdot K D = 2 + 23,

N E = N K + K E = 4 + 23 = B N .

Следовательно, треугольник $B E N$ — равносторонний и

∠ K B E = 6 0^{\circ} - 1 5^{\circ} = 4 5^{\circ} .

Ответ: $4 5^{\circ} .$