На боковом ребре FD правильной четырёхугольной пирамиды FABCD отмечена точка M так, что FM:FD = 1:3 . Точки P и Q — середины рёбер AD и BC соответственно. а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ есть равнобедренная трапеция. б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.

а) Плоскость MPQ проходит через прямую PQ , параллельную DC (по построению P, Q — середины противоположных сторон основания AD и BC ). По признаку параллельности прямой и плоскости PQ плоскости DFC . Значит, линия пересечения плоскости MPQ с плоскостью DFC параллельна PQ . Эта линия — отрезок MN , где N — точка на ребре FC такая, что FN:FC = 1:3 . Получаем MN PQ , то есть PMNQ — трапеция. В правильной пирамиде боковые грани — равные равнобедренные треугольники, поэтому DMP CNQ ( FM = FN , значит DM = CN ; DP = CQ — половины равных рёбер; MDP = NCQ — равные углы между ребром и стороной основания). Отсюда MP = NQ — боковые стороны трапеции равны, и PMNQ — равнобедренная трапеция, что и требовалось. б) Пусть V — объём пирамиды FABCD , H — её высота, S — площадь основания, V = (1)/(3)SH . Сечение разбивает пирамиду на два многогранника. Меньший (со стороны вершины D ) — это многогранник DCPQMN . Разобьём его на две пирамиды: четырёхугольную MPDCQ и треугольную NMPD . Объём V_(MPDCQ) . Основание — прямоугольник PDCQ , его площадь равна (S)/(2) . Высота MO_1 , опущенная из M на основание, равна (MD)/(FD)* H = (2)/(3)H . Значит, V_(MPDCQ) = (1)/(3)*(S)/(2)*(2H)/(3) = (SH)/(9) = (V)/(3). Объём V_(NMPD) . Точки M, P, D лежат в плоскости ADF . Поэтому V_(NMPD) = (1)/(3)* S_(MPD)* (N,ADF). Из теоремы об отношении площадей треугольников с общим углом (S_(MPD))/(S_(FAD)) = (MD* DP)/(FD* DA) = ((2)/(3)*(1)/(2))/(1) = (1)/(3). Расстояние от N до плоскости ADF относится к расстоянию от C до этой плоскости как (MN)/(PQ) = (1)/(3) (по теореме Фалеса в трапеции PMNQ ). Тогда V_(NMPD) = (1)/(3)*(1)/(3)* V_(CADF) = (1)/(9)*(V)/(2) = (V)/(18), где использовано, что тетраэдр CADF — половина пирамиды FABCD (диагональное сечение через ребро FA и боковое ребро FC делит её пополам). Итого объём меньшего многогранника: V_(DCPQMN) = (V)/(3) + (V)/(18) = (6V+V)/(18) = (7V)/(18). Объём большего: V - (7V)/(18) = (11V)/(18) . Ответ: (7V)/(18) : (11V)/(18) = 7:11 .

$7:11$