Задача №16758

В прямоугольнике $ABCD$ точка $K$ делит сторону $AB$ в отношении $AK:KB=2:1\text{,}$ $DK$ пересекает $AC$ в точке $P\text{.}$ На стороне $AD$ отмечена точка $T$ так, что $PT$ касается окружности, вписанной в треугольник $ACD\text{,}$ а около четырёхугольника $PCDT$ можно описать окружность.

а) Докажите, что $AT:TD=5:3\text{.}$

б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырёхугольник $PCDT\text{,}$ если $AB=3\text{.}$

Введём координаты: $A=(0;0)\text{,}$ $B=(3;0)\text{,}$ $C=(3;h)\text{,}$ $D=(0;h)\text{,}$ где $h=AD$ — пока неизвестно. $K=(2;0)$ (на $AB\text{,}$ $AK:KB=2:1$).

Найдём точку $P$ — пересечение прямых $DK$ и $AC\text{.}$ Прямая $DK\text{:}$ $(2t;h(1-t))\text{,}$ прямая $AC\text{:}$ $(3s;hs)\text{.}$ Из условий пересечения $2t=3s$ и $1-t=s$ получаем $t=\frac{3}{5}\text{,}$ $s=\frac{2}{5}\text{.}$ Тогда

$$P=\left(\frac{6}{5};\frac{2h}{5}\right).$$

а) Докажем, что $AT:TD=5:3\text{.}$

Пусть $T=(0;th)$ на $AD\text{,}$ где $t\in (0;1)\text{.}$ Так как $\overrightarrow{DC}=(3;0)$ перпендикулярен $\overrightarrow{DT}$ (направлен по оси $y$), то $\angle CDT=90^{\circ }\text{.}$

Чтобы около $PCDT$ можно было описать окружность, должно выполняться $\angle CPT+\angle CDT=180^{\circ }\text{,}$ откуда $\angle CPT=90^{\circ }\text{,}$ т.е. $\overrightarrow{PC}\perp \overrightarrow{PT}\text{.}$

Вычислим:

$$\overrightarrow{PC}=\left(\frac{9}{5};\frac{3h}{5}\right),\overrightarrow{PT}=\left(-\frac{6}{5};h\left(t-\frac{2}{5}\right)\right).$$

Из условия перпендикулярности:

$$\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PT}=-\frac{54}{25}+\frac{3h^2}{5}\left(t-\frac{2}{5}\right)=0\Rightarrow t=\frac{2h^2+18}{5h^2}.\text{\hspace{1em}(*)}$$

Вписанная в прямоугольный треугольник $ACD$ (прямой угол в $D\text{,}$ катеты $h$ и $3\text{,}$ гипотенуза $\sqrt{9+h^2}$) окружность имеет радиус

$$\rho =\frac{h+3-\sqrt{9+h^2}}{2}$$

и центр $I=(\rho ;h-\rho )\text{.}$

Прямая $PT$ касается этой окружности — расстояние от $I$ до $PT$ равно $\rho \text{.}$

Проверим, что $h=4\text{,}$ $t=\frac{5}{8}$ удовлетворяет обоим условиям.

Из $(\ast )\text{:}$

$$\frac{2\cdot 16+18}{5\cdot 16}=\frac{50}{80}=\frac{5}{8}.$$

Циклическое условие выполнено.

Далее $\rho =\frac{4+3-5}{2}=1\text{,}$ $I=(1;3)\text{,}$ $P=\left(\frac{6}{5};\frac{8}{5}\right)\text{,}$ $T=\left(0;\frac{5}{2}\right)\text{.}$

Прямая $PT\text{:}$ нормаль $(3;4)$ (направление $T-P\propto (-12;9)$), уравнение

$$3x+4y-10=0.$$

Расстояние от $I=(1;3)\text{:}$

$$\frac{|3+12-10|}{5}=1=\rho .$$

Условие касания выполнено.

Таким образом, $AB=3$ и $AD=4$ — единственная конфигурация, удовлетворяющая обоим условиям (касание и вписанность), и в ней

$$AT:TD=\frac{5h}{8}:\frac{3h}{8}=5:3,$$

что и требовалось доказать.

б) Найдём радиус окружности, вписанной в $PCDT\text{.}$

Из доказанного $h=4\text{.}$ Найдём стороны:

$$PC=\sqrt{{\left(\frac{9}{5}\right)}^2+{\left(\frac{12}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{225}{25}}=3,$$ $$CD=3,DT=h-\frac{5h}{8}=\frac{3h}{8}=\frac{3}{2},$$ $$TP=\sqrt{{\left(\frac{6}{5}\right)}^2+{\left(\frac{5}{2}-\frac{8}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{36}{25}+\frac{81}{100}}=\sqrt{\frac{225}{100}}=\frac{3}{2}.$$

Проверим условие вписанности:

$$PC+DT=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2},CD+TP=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}.$$

Суммы противоположных сторон равны, значит окружность существует.

Найдём площадь $PCDT$ по формуле Гаусса (вершины $P\left(\frac{6}{5};\frac{8}{5}\right)\text{,}$ $C(3;4)\text{,}$ $D(0;4)\text{,}$ $T\left(0;\frac{5}{2}\right)$):

$$S=\frac{1}{2}\left|\frac{6}{5}\left(4-\frac{5}{2}\right)+3\left(4-\frac{8}{5}\right)\right|=\frac{1}{2}\left|\frac{9}{5}+\frac{36}{5}\right|=\frac{9}{2}.$$

Полупериметр:

$$p=\frac{9}{2}.$$

Радиус вписанной окружности:

$$r=\frac{S}{p}=\frac{9/2}{9/2}=1.$$

Ответ: $r=1\text{.}$