В прямоугольнике ABCD точка K делит сторону AB в отношении AK : KB = 2 : 1 , DK пересекает AC в точке P . На стороне AD отмечена точка T так, что PT касается окружности, вписанной в треугольник ACD , а около четырёхугольника PCDT можно описать окружность. а) Докажите, что AT : TD = 5 : 3 . б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырёхугольник PCDT , если AB = 3 .

Введём координаты: A = (0;0) , B = (3;0) , C = (3;h) , D = (0;h) , где h = AD — пока неизвестно. K = (2;0) (на AB , AK : KB = 2 : 1 ). Найдём точку P — пересечение прямых DK и AC . Прямая DK : (2t;h(1 - t)) , прямая AC : (3s;hs) . Из условий пересечения 2t = 3s и 1 - t = s получаем t = (3)/(5) , s = (2)/(5) . Тогда P = ((6)/(5);(2h)/(5)). а) Докажем, что AT : TD = 5 : 3 . Пусть T = (0;th) на AD , где t in (0; 1) . Так как DC = (3;0) перпендикулярен DT (направлен по оси y ), то CDT = 90^ . Чтобы около PCDT можно было описать окружность, должно выполняться CPT + CDT = 180^ , откуда CPT = 90^ , т.е. PC PT . Вычислим: PC = ((9)/(5);(3h)/(5)), PT = (-(6)/(5);h(t - (2)/(5))). Из условия перпендикулярности: PC * PT = -(54)/(25) + (3h^2)/(5)(t - (2)/(5)) = 0 => t = (2h^2 + 18)/(5h^2). * Вписанная в прямоугольный треугольник ACD (прямой угол в D , катеты h и 3 , гипотенуза sqrt(9 + h^2) ) окружность имеет радиус = (h + 3 - sqrt(9 + h^2))/(2) и центр I = (;h - ) . Прямая PT касается этой окружности — расстояние от I до PT равно . Проверим, что h = 4 , t = (5)/(8) удовлетворяет обоим условиям. Из (*) : (2 * 16 + 18)/(5 * 16) = (50)/(80) = (5)/(8). Циклическое условие выполнено. Далее = (4 + 3 - 5)/(2) = 1 , I = (1;3) , P = ((6)/(5);(8)/(5)) , T = (0;(5)/(2)) . Прямая PT : нормаль (3;4) (направление T - P (-12;9) ), уравнение 3x + 4y - 10 = 0. Расстояние от I = (1;3) : (|3 + 12 - 10|)/(5) = 1 = . Условие касания выполнено. Таким образом, AB = 3 и AD = 4 — единственная конфигурация, удовлетворяющая обоим условиям (касание и вписанность), и в ней AT : TD = (5h)/(8) : (3h)/(8) = 5 : 3, что и требовалось доказать. б) Найдём радиус окружности, вписанной в PCDT . Из доказанного h = 4 . Найдём стороны: PC = sqrt(((9)/(5))^2 + ((12)/(5))^2) = sqrt((225)/(25)) = 3, CD = 3, DT = h - (5h)/(8) = (3h)/(8) = (3)/(2), TP = sqrt(((6)/(5))^2 + ((5)/(2) - (8)/(5))^2) = sqrt((36)/(25) + (81)/(100)) = sqrt((225)/(100)) = (3)/(2). Проверим условие вписанности: PC + DT = 3 + (3)/(2) = (9)/(2), CD + TP = 3 + (3)/(2) = (9)/(2). Суммы противоположных сторон равны, значит окружность существует. Найдём площадь PCDT по формуле Гаусса (вершины P((6)/(5);(8)/(5)) , C(3;4) , D(0;4) , T(0;(5)/(2)) ): S = (1)/(2)|(6)/(5)(4 - (5)/(2)) + 3(4 - (8)/(5))| = (1)/(2)|(9)/(5) + (36)/(5)| = (9)/(2). Полупериметр: p = (9)/(2). Радиус вписанной окружности: r = (S)/(p) = (9/2)/(9/2) = 1. Ответ: r = 1 .

Б) $r = 1$