Решите неравенство (_(4sqrt(x)) 2)/(_(2x) 2) + _(2x) 2 * _(1/2) 2x 0.

ОДЗ: x > 0 , 4sqrt(x) != 1 , 2x != 1 , то есть x > 0 , x != (1)/(16) , x != (1)/(2) . Используя формулу _b a = (1)/(_a b) , перепишем все логарифмы к основанию 2. Также _(1/2) 2x = -_2 2x : (_2 2x)/(_2 4sqrt(x)) - _(2x) 2 * _2 2x 0. Заметим, что _(2x) 2 * _2 2x = 1 , поэтому (_2 2x)/(_2 4sqrt(x)) - 1 0 <=> (_2 2x - _2 4sqrt(x))/(_2 4sqrt(x)) 0. Поскольку функции y = _2 t и y = sqrt(t) возрастают, разности значений совпадают по знаку с разностями аргументов: (2x - 4sqrt(x))/(4sqrt(x) - 1) 0 <=> (sqrt(x) - 2)/(4sqrt(x) - 1) 0 <=> (x - 4)/(16x - 1) 0. Решая методом интервалов с учётом x > 0 , x != (1)/(2) : x < (1)/(16) или x 4. С учётом ОДЗ ( x > 0 ) получаем итоговое множество решений. Ответ: x in (0;(1)/(16)) U [4;+inf) .

$x \in \left(0;\,\dfrac{1}{16}\right) \cup [4;\,+\infty)$