Задача №16757

Решите неравенство

$$\frac{{\log }_{4\sqrt{x}}2}{{\log }_{2x}2}+{\log }_{2x}2\cdot {\log }_{1/2}2x⩾0.$$

ОДЗ: $x>0\text{,}$ $4\sqrt{x}\ne 1\text{,}$ $2x\ne 1\text{,}$ то есть $x>0\text{,}$ $x\ne \frac{1}{16}\text{,}$ $x\ne \frac{1}{2}\text{.}$

Используя формулу ${\log }_{b}a=\frac{1}{{\log }_{a}b}\text{,}$ перепишем все логарифмы к основанию 2. Также ${\log }_{1/2}2x=-{\log }_{2}2x\text{:}$

$$\frac{{\log }_{2}2x}{{\log }_{2}4\sqrt{x}}-{\log }_{2x}2\cdot {\log }_{2}2x⩾0.$$

Заметим, что ${\log }_{2x}2\cdot {\log }_{2}2x=1\text{,}$ поэтому

$$\frac{{\log }_{2}2x}{{\log }_{2}4\sqrt{x}}-1⩾0\iff \frac{{\log }_{2}2x-{\log }_{2}4\sqrt{x}}{{\log }_{2}4\sqrt{x}}⩾0.$$

Поскольку функции $y={\log }_{2}t$ и $y=\sqrt{t}$ возрастают, разности значений совпадают по знаку с разностями аргументов:

$$\frac{2x-4\sqrt{x}}{4\sqrt{x}-1}⩾0\iff \frac{\sqrt{x}-2}{4\sqrt{x}-1}⩾0\iff \frac{x-4}{16x-1}⩾0.$$

Решая методом интервалов с учётом $x>0\text{,}$ $x\ne \frac{1}{2}\text{:}$

$$x<\frac{1}{16}\text{или}x⩾4.$$

С учётом ОДЗ ($x>0$) получаем итоговое множество решений.

Ответ: $x\in \left(0;\frac{1}{16}\right)\cup [4;+\infty )\text{.}$