Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений cases (2y^(2) - yx - 18y + 6x + 36)sqrt(8 - x) = 0, (2y - ax + 8a - 1)/(y - 1) = 1 cases имеет ровно два решения.

Решение. Решим задачу графически на плоскости xOy , рассматривая каждое уравнение системы отдельно. (1) Разложим выражение в скобках на множители: aligned 2y^(2) - yx - 18y + 6x + 36 &= (y^(2) - 12y + 36) + (y^(2) - 6y + 6x - yx) &= (y - 6)^(2) + y(y - 6) - x(y - 6) = (y - 6)(2y - x - 6). aligned Первое уравнение принимает вид (y - 6)(2y - x - 6)sqrt(8 - x) = 0 при 8 - x 0 , что равносильно объединению трёх множеств в полуплоскости x 8 : y = 6, y = 0,5x + 3, x = 8. Точки попарных пересечений этих прямых: A(8;6) (пересечение y = 6 и x = 8 ), B(8;7) (пересечение y = 0,5x + 3 и x = 8 ), C(6;6) (пересечение y = 6 и y = 0,5x + 3 ). График первого уравнения — объединение прямой x = 8 и двух лучей CA и CB (части прямых y = 6 и y = 0,5x + 3 при x 8 ), идущих из общей точки C(6;6) . (2) Преобразуем второе уравнение: (2y - ax + 8a - 1)/(y - 1) = 1 <=>cases 2y - ax + 8a - 1 = y - 1, y != 1; cases <=>cases y = a(x - 8), y != 1. cases Это пучок прямых, проходящих через точку P(8;0) с угловым коэффициентом a , причём точка с ординатой 1 выколота. Подсчёт решений. Точка P(8;0) лежит на прямой x = 8 , поэтому при любом a прямая (2) имеет ровно одну общую точку с прямой x = 8 — это сама точка P (она допустима, так как y_P = 0 != 1 ). Условие задачи (ровно 2 решения) равносильно тому, что прямая (2) пересекает объединение лучей CA и CB ровно в одной допустимой точке (с y != 1 ). Найдём ключевые значения параметра: 1) Прямая (2) проходит через общую точку лучей C(6;6) : 6 = a(6 - 8) => a = -3 . (Здесь C даёт одну точку пересечения с обоими лучами одновременно — ровно одна точка, плюс P , итого 2 решения.) 2) Прямая (2) пересекает луч CB (на прямой y = 0,5x + 3 ) в точке с y = 1 : cases 0,5x + 3 = 1, a(x - 8) = 1 cases <=>cases x = -4, -12a = 1; cases =>a = -(1)/(12). (Точка с y = 1 выколота, поэтому формальное второе пересечение не считается, остаётся одна допустимая общая точка с лучами и P .) 3) Прямая (2) параллельна прямой y = 6 : a = 0 . 4) Прямая (2) параллельна прямой y = 0,5x + 3 : a = 0,5 . Графический анализ при сравнении угловых коэффициентов прямой (2) с угловыми коэффициентами лучей CA ( k = 0 ) и CB ( k = 0,5 ) даёт: условие задачи выполняется при a in -3;-(1)/(12) U [0;0,5). Ответ: a in -3;-(1)/(12) U [0;0,5) .

$a \in \left\{-3;\;-\dfrac{1}{12}\right\} \cup [0;\,0{,}5)$