Задача №16756

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых система уравнений

$$\{\begin{array}{l}(2y^2-yx-18y+6x+36)\sqrt{8-x}=0,\\ \frac{2y-ax+8a-1}{y-1}=1\end{array}$$

имеет ровно два решения.

Решение.

Решим задачу графически на плоскости $xOy\text{,}$ рассматривая каждое уравнение системы отдельно.

(1) Разложим выражение в скобках на множители:

$$\begin{array}{rl}2y^2-yx-18y+6x+36& =(y^2-12y+36)+(y^2-6y+6x-yx)\\ & =(y-6{)}^2+y(y-6)-x(y-6)=(y-6)(2y-x-6).\end{array}$$

Первое уравнение принимает вид $(y-6)(2y-x-6)\sqrt{8-x}=0$ при $8-x⩾0\text{,}$ что равносильно объединению трёх множеств в полуплоскости $x⩽8\text{:}$

$$y=6,y=0,5x+3,x=8.$$

Точки попарных пересечений этих прямых: $A(8;6)$ (пересечение $y=6$ и $x=8$), $B(8;7)$ (пересечение $y=0,5x+3$ и $x=8$), $C(6;6)$ (пересечение $y=6$ и $y=0,5x+3$). График первого уравнения — объединение прямой $x=8$ и двух лучей $CA$ и $CB$ (части прямых $y=6$ и $y=0,5x+3$ при $x⩽8$), идущих из общей точки $C(6;6)\text{.}$

(2) Преобразуем второе уравнение:

$$\frac{2y-ax+8a-1}{y-1}=1\iff \{\begin{array}{l}2y-ax+8a-1=y-1,\\ y\ne 1;\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y=a(x-8),\\ y\ne 1.\end{array}$$

Это пучок прямых, проходящих через точку $P(8;0)$ с угловым коэффициентом $a\text{,}$ причём точка с ординатой $1$ выколота.

Подсчёт решений. Точка $P(8;0)$ лежит на прямой $x=8\text{,}$ поэтому при любом $a$ прямая (2) имеет ровно одну общую точку с прямой $x=8$ — это сама точка $P$ (она допустима, так как $y_P=0\ne 1$). Условие задачи (ровно $2$ решения) равносильно тому, что прямая (2) пересекает объединение лучей $CA$ и $CB$ ровно в одной допустимой точке (с $y\ne 1$).

Найдём ключевые значения параметра:

1) Прямая (2) проходит через общую точку лучей $C(6;6)\text{:}$ $6=a(6-8)\Rightarrow a=-3\text{.}$ (Здесь $C$ даёт одну точку пересечения с обоими лучами одновременно - ровно одна точка, плюс $P\text{,}$ итого $2$ решения.)

2) Прямая (2) пересекает луч $CB$ (на прямой $y=0,5x+3$) в точке с $y=1\text{:}$

$$\{\begin{array}{l}0,5x+3=1,\\ a(x-8)=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-4,\\ -12a=1;\end{array}\Rightarrow a=-\frac{1}{12}.$$

(Точка с $y=1$ выколота, поэтому формальное второе пересечение не считается, остаётся одна допустимая общая точка с лучами и $P\text{.}$)

3) Прямая (2) параллельна прямой $y=6\text{:}$ $a=0\text{.}$

4) Прямая (2) параллельна прямой $y=0,5x+3\text{:}$ $a=0,5\text{.}$

Графический анализ при сравнении угловых коэффициентов прямой (2) с угловыми коэффициентами лучей $CA$ ($k=0$) и $CB$ ($k=0,5$) даёт: условие задачи выполняется при

$$a\in \left\{-3;-\frac{1}{12}\right\}\cup [0;0,5).$$

Ответ: $a\in \left\{-3;-\frac{1}{12}\right\}\cup [0;0,5)\text{.}$