Задача №16750

Решите неравенство:

$$\frac{360-28\cdot 36^x-66\cdot 6^x}{36^x-7\cdot 6^x+12}⩽36^x+2\cdot 6^{x+1}+30.$$

Введём замену $t=6^x\text{,}$ $t>0\text{.}$ Тогда $36^x=t^2\text{,}$ $6^{x+1}=6t\text{,}$ и неравенство принимает вид

$$\frac{360-28t^2-66t}{t^2-7t+12}⩽t^2+12t+30.$$

Перенесём всё в левую часть:

$$\frac{360-28t^2-66t-(t^2-7t+12)(t^2+12t+30)}{t^2-7t+12}⩽0.$$

Раскроем произведение в числителе:

$$(t^2-7t+12)(t^2+12t+30)=t^4+5t^3-42t^2-66t+360.$$

Числитель упрощается:

$$360-28t^2-66t-t^4-5t^3+42t^2+66t-360=-t^4-5t^3+14t^2.$$

Умножим обе части на $-1$ (знак неравенства меняется на противоположный):

$$\frac{t^4+5t^3-14t^2}{t^2-7t+12}⩾0.$$

Разложим: $t^4+5t^3-14t^2=t^2(t+7)(t-2)\text{,}$ $t^2-7t+12=(t-3)(t-4)\text{.}$ При $t>0$ имеем $t^2>0$ и $t+7>0\text{,}$ поэтому неравенство сводится к

$$\frac{t-2}{(t-3)(t-4)}⩾0,t>0,t\ne 3,t\ne 4.$$

Метод интервалов даёт знаки на $(0;2)\text{,}$ $(2;3)\text{,}$ $(3;4)\text{,}$ $(4;+\infty )$ соответственно $-,+,-,+\text{.}$ Решение: $t\in [2;3)\cup (4;+\infty )\text{.}$

Возвращаемся к $x\text{:}$ $2⩽6^x<3$ или $6^x>4\text{.}$ Логарифмируя по основанию $6\text{:}$

$${\log }_{6}2⩽x<{\log }_{6}3\text{или}x>{\log }_{6}4.$$

Ответ: $x\in [{\log }_{6}2;{\log }_{6}3)\cup ({\log }_{6}4;+\infty )\text{.}$