Решите неравенство: (360 - 28* 36^(x) - 66* 6^(x))/(36^(x) - 7* 6^(x) + 12) 36^(x) + 2* 6^(x+1) + 30.

Введём замену t = 6^(x), t > 0. Тогда 36^(x) = t^(2), 6^(x+1) = 6t, и неравенство принимает вид (360 - 28t^(2) - 66t)/(t^(2) - 7t + 12) t^(2) + 12t + 30. Перенесём всё в левую часть: (360 - 28t^(2) - 66t - (t^(2)-7t+12)(t^(2)+12t+30))/(t^(2)-7t+12) 0. Раскроем произведение в числителе: (t^(2)-7t+12)(t^(2)+12t+30) = t^(4) + 5t^(3) - 42t^(2) - 66t + 360. Числитель упрощается: 360 - 28t^(2) - 66t - t^(4) - 5t^(3) + 42t^(2) + 66t - 360 = -t^(4) - 5t^(3) + 14t^(2). Умножим обе части на -1 (знак неравенства меняется на противоположный): (t^(4) + 5t^(3) - 14t^(2))/(t^(2) - 7t + 12) 0. Разложим: t^(4) + 5t^(3) - 14t^(2) = t^(2)(t+7)(t-2), t^(2) - 7t + 12 = (t-3)(t-4). При t > 0 имеем t^(2) > 0 и t+7 > 0, поэтому неравенство сводится к (t-2)/((t-3)(t-4)) 0, t > 0, t != 3, t != 4. Метод интервалов даёт знаки на (0;2), (2;3), (3;4), (4;+inf) соответственно -,+,-,+. Решение: t in [2;3) U (4;+inf). Возвращаемся к x: 2 6^(x) < 3 или 6^(x) > 4. Логарифмируя по основанию 6: _(6) 2 x < _(6) 3 или x > _(6) 4. Ответ: x in [_(6) 2; _(6) 3) U (_(6) 4; +inf).

$x \in [\log_{6} 2;\ \log_{6} 3) \cup (\log_{6} 4;\ +\infty)$