Задача №16749

А) Решите уравнение
$\mathrm{tg}\left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sin x-\cos x\text{.}$
Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[-3\pi ;-\frac{3\pi }{2}\right]\text{.}$

А) Перепишем уравнение через отношение синуса и косинуса:

ОДЗ: $\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\ne 0\text{,}$ то есть $x\ne \frac{3\pi }{4}+\pi n\text{,}$ $n\in \mathbb{Z}\text{.}$

По формулам синуса и косинуса разности:

Уравнение принимает вид $\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}=\sin x-\cos x\text{,}$ что равносильно

1) $\sin x-\cos x=0\Rightarrow \mathrm{tg}x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+\pi k\text{,}$ $k\in \mathbb{Z}$ (ОДЗ выполнено).

2) $\sin x+\cos x=1\iff \sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=1\iff \cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\text{,}$ откуда $x-\frac{\pi }{4}=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n\text{,}$ то есть $x=2\pi n$ или $x=\frac{\pi }{2}+2\pi n\text{,}$ $n\in \mathbb{Z}\text{.}$

Ответ А: $x=\frac{\pi }{4}+\pi k\text{,}$ $k\in \mathbb{Z}\text{;}$ $x=2\pi n\text{;}$ $x=\frac{\pi }{2}+2\pi n\text{,}$ $n\in \mathbb{Z}\text{.}$

Б) Отбираем корни на отрезке $\left[-3\pi ;-\frac{3\pi }{2}\right]\text{:}$

• из $x=\frac{\pi }{4}+\pi k\text{:}$ $k=-3\Rightarrow x=-\frac{11\pi }{4}\text{;}$ $k=-2\Rightarrow x=-\frac{7\pi }{4}\text{;}$
• из $x=2\pi n\text{:}$ $n=-1\Rightarrow x=-2\pi \text{;}$
• из $x=\frac{\pi }{2}+2\pi n\text{:}$ $n=-1\Rightarrow x=-\frac{3\pi }{2}\text{.}$

Ответ Б: $-\frac{11\pi }{4};-2\pi ;-\frac{7\pi }{4};-\frac{3\pi }{2}\text{.}$