Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение sin|| + a * cos(()/(2)) = (a|x|)/(sqrt(1+x^2)) имеет хотя бы одно решение.

Заметим: если x_0 — решение уравнения, то -x_0 — тоже корень, поэтому достаточно рассмотреть случай x 0 . Полагая x = 2t при t in [0;(pi)/(4)) , имеем = 2t , (|x|)/(sqrt(1+x^2)) = sin 2t . Уравнение принимает вид: sin 2t + acos t = asin 2t, 2(1-a)sin tcos t + acos t = 0, (2(1-a)sin t + a)cos t = 0. Поскольку cos t != 0 при t in [0;(pi)/(4)) : sin t = (a)/(2(a-1)). Последнее имеет решения на [0;(pi)/(4)) тогда и только тогда, когда: sin 0 (a)/(2(a-1)) < sin(pi)/(4) <=> 0 (a)/(2(a-1)) < (sqrt(2))/(2). Решая двойное неравенство методом интервалов: a in (-inf;0] U (2 + sqrt(2);+inf). Ответ: a in (-inf;0] U (2 + sqrt(2);+inf) .

$a \in (-\infty;\,0] \cup (2 + \sqrt{2};\,+\infty)$