Задача №16748

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$\sin |\mathrm{arctg}x|+a\cdot \cos \left(\frac{\mathrm{arctg}x}{2}\right)=\frac{a|x|}{\sqrt{1+x^2}}$$

имеет хотя бы одно решение.

Заметим: если $x_0$ — решение уравнения, то $-x_0$ — тоже корень, поэтому достаточно рассмотреть случай $x⩾0\text{.}$

Полагая $x=\mathrm{tg}2t$ при $t\in \left[0;\frac{\pi }{4}\right)\text{,}$ имеем $\mathrm{arctg}x=2t\text{,}$ $\frac{|x|}{\sqrt{1+x^2}}=\sin 2t\text{.}$ Уравнение принимает вид:

$$\sin 2t+a\cos t=a\sin 2t,$$ $$2(1-a)\sin t\cos t+a\cos t=0,$$ $$(2(1-a)\sin t+a)\cos t=0.$$

Поскольку $\cos t\ne 0$ при $t\in \left[0;\frac{\pi }{4}\right)\text{:}$

$$\sin t=\frac{a}{2(a-1)}.$$

Последнее имеет решения на $\left[0;\frac{\pi }{4}\right)$ тогда и только тогда, когда:

$$\sin 0⩽\frac{a}{2(a-1)}<\sin \frac{\pi }{4}\iff 0⩽\frac{a}{2(a-1)}<\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Решая двойное неравенство методом интервалов:

$$a\in (-\infty ;0]\cup (2+\sqrt{2};+\infty ).$$

Ответ: $a\in (-\infty ;0]\cup (2+\sqrt{2};+\infty )\text{.}$