Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d и образует с его двумя гранями углы, равные alpha , а с третьей — угол, равный beta . а) Докажите, что sin^2beta = cos 2alpha . б) Найдите объём параллелепипеда, если d = 2sqrt(2) , alpha = (pi)/(6) .

а) Доказательство sin^2beta = cos 2alpha . Пусть a , b — стороны основания параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 , c — высота, d = sqrt(a^2 + b^2 + c^2) — диагональ B_1D . Поскольку диагональ образует равные углы alpha с гранями ABB_1A_1 и CBB_1C_1 , в основании квадрат, то есть a = b . Угол beta диагональ образует с третьей гранью — нижним основанием ABCD . Из прямоугольного DBB_1 ( B = 90^ ) получаем = (B_1B)/(B_1D) = (c)/(d) = (c)/(sqrt(2a^2 + c^2)), откуда sin^2beta = (c^2)/(2a^2 + c^2) . В прямоугольном DAB_1 : = (B_1A)/(B_1D) = (sqrt(a^2 + c^2))/(sqrt(2a^2 + c^2)), поэтому cos^2alpha = (a^2 + c^2)/(2a^2 + c^2) . Тогда cos 2alpha = 2cos^2alpha - 1 = (2(a^2 + c^2))/(2a^2 + c^2) - 1 = (2a^2 + 2c^2 - 2a^2 - c^2)/(2a^2 + c^2) = (c^2)/(2a^2 + c^2). Сравнивая с sin^2beta , получаем sin^2beta = cos 2alpha , что и требовалось доказать. б) Объём при d = 2sqrt(2) , alpha = (pi)/(6) . Найдём beta : cos 2alpha = cos(pi)/(3) = (1)/(2), поэтому sin^2beta = (1)/(2) , = (1)/(sqrt(2)) , beta = (pi)/(4) . В прямоугольном DBB_1 : = (B_1B)/(BD) = (c)/(asqrt(2)) = 1, откуда c = asqrt(2) . По теореме Пифагора BB_1^2 + BD^2 = B_1D^2 = d^2 , то есть c^2 + (asqrt(2))^2 = d^2 . Подставляя c = asqrt(2) и d = 2sqrt(2) : 2a^2 + 2a^2 = 8 => a^2 = 2 => a = sqrt(2), c = 2. Найдём объём: V = a * a * c = a^2 c = 2 * 2 = 4. Ответ: а) что и требовалось доказать б) 4

Б) $4$.