Задача №16745

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна $d$ и образует с его двумя гранями углы, равные $\alpha \text{,}$ а с третьей — угол, равный $\beta \text{.}$

а) Докажите, что ${\sin }^2\beta =\cos 2\alpha \text{.}$
б) Найдите объём параллелепипеда, если $d=2\sqrt{2}\text{,}$ $\alpha =\frac{\pi }{6}\text{.}$

а) Доказательство ${\sin }^2\beta =\cos 2\alpha \text{.}$

Пусть $a\text{,}$ $b$ — стороны основания параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1\text{,}$ $c$ — высота, $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ — диагональ $B_{1}D\text{.}$ Поскольку диагональ образует равные углы $\alpha$ с гранями $AB{B}_1{A}_1$ и $CB{B}_1{C}_1\text{,}$ в основании квадрат, то есть $a=b\text{.}$

Угол $\beta$ диагональ образует с третьей гранью — нижним основанием $ABCD\text{.}$ Из прямоугольного $△DB{B}_1$ ($\angle B=90^{\circ }$) получаем

$$\sin \beta =\frac{B_{1}B}{B_{1}D}=\frac{c}{d}=\frac{c}{\sqrt{2a^2+c^2}},$$

откуда ${\sin }^2\beta =\frac{c^2}{2a^2+c^2}\text{.}$

В прямоугольном $△DA{B}_1\text{:}$

$$\cos \alpha =\frac{B_{1}A}{B_{1}D}=\frac{\sqrt{a^2+c^2}}{\sqrt{2a^2+c^2}},$$

поэтому ${\cos }^2\alpha =\frac{a^2+c^2}{2a^2+c^2}\text{.}$

Тогда

$$\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=\frac{2(a^2+c^2)}{2a^2+c^2}-1=\frac{2a^2+2c^2-2a^2-c^2}{2a^2+c^2}=\frac{c^2}{2a^2+c^2}.$$

Сравнивая с ${\sin }^2\beta \text{,}$ получаем ${\sin }^2\beta =\cos 2\alpha \text{,}$ что и требовалось доказать.

б) Объём при $d=2\sqrt{2}\text{,}$ $\alpha =\frac{\pi }{6}\text{.}$

Найдём $\beta \text{:}$

$$\cos 2\alpha =\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2},$$

поэтому ${\sin }^2\beta =\frac{1}{2}\text{,}$ $\sin \beta =\frac{1}{\sqrt{2}}\text{,}$ $\beta =\frac{\pi }{4}\text{.}$

В прямоугольном $△DB{B}_1\text{:}$

$$\mathrm{tg}\beta =\frac{B_{1}B}{BD}=\frac{c}{a\sqrt{2}}=1,$$

откуда $c=a\sqrt{2}\text{.}$

По теореме Пифагора $B{B}_1^2+B{D}^2=B_1{D}^2=d^2\text{,}$ то есть $c^2+(a\sqrt{2}{)}^2=d^2\text{.}$ Подставляя $c=a\sqrt{2}$ и $d=2\sqrt{2}\text{:}$

$$2a^2+2a^2=8\Rightarrow a^2=2\Rightarrow a=\sqrt{2},c=2.$$

Найдём объём:

$$V=a\cdot a\cdot c=a^{2}c=2\cdot 2=4.$$

Ответ:

а) что и требовалось доказать

б) $4$