В параллелограмме ABCD C = 120^. Биссектрисы углов B и C пересекаются в точке K, лежащей на стороне AD, CK = 3sqrt(3). Найдите диагональ AC параллелограмма.

В параллелограмме ABCD соседние углы дополняют друг друга до 180^, поэтому B = 180^ - C = 180^ - 120^ = 60^, A = C = 120^, D = B = 60^. Шаг 1. Треугольник DCK. Биссектриса угла C делит его пополам, поэтому BCK = DCK = 60^. Так как BC AD, по свойству накрест лежащих углов DKC = BCK = 60^. В треугольнике DCK два угла равны 60^ (угол D параллелограмма и угол DKC), значит, и третий угол DCK = 60^, то есть треугольник равносторонний. Тогда CD = DK = CK = 3sqrt(3). Шаг 2. Треугольник ABK. Биссектриса угла B делит его пополам: ABK = CBK = 30^. Так как AD BC, накрест лежащие углы дают AKB = KBC = 30^. В треугольнике ABK имеем BAK = 120^, ABK = AKB = 30^, поэтому он равнобедренный: AB = AK. Противоположные стороны параллелограмма равны: AB = CD = 3sqrt(3). Значит, AK = 3sqrt(3), и AD = AK + KD = 3sqrt(3) + 3sqrt(3) = 6sqrt(3). Шаг 3. Диагональ AC. В треугольнике ACD: AD = 6sqrt(3), DC = 3sqrt(3), ADC = 60^. По теореме косинусов AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2 * AD * DC * cos 60^ = 108 + 27 - 2 * 6sqrt(3) * 3sqrt(3) * (1)/(2) = 135 - 54 = 81. Значит, AC = 9. Ответ: AC = 9.

9