Задача №16744

В параллелограмме $ABCD$ соседние углы дополняют друг друга до $180^{\circ }\text{,}$ поэтому

$$\angle B=180^{\circ }-\angle C=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ },\angle A=\angle C=120^{\circ },\angle D=\angle B=60^{\circ }.$$

Шаг 1. Треугольник $DCK\text{.}$

Биссектриса угла $C$ делит его пополам, поэтому $\angle BCK=\angle DCK=60^{\circ }\text{.}$ Так как $BC\parallel AD\text{,}$ по свойству накрест лежащих углов $\angle DKC=\angle BCK=60^{\circ }\text{.}$

В треугольнике $DCK$ два угла равны $60^{\circ }$ (угол $D$ параллелограмма и угол $DKC$), значит, и третий угол $\angle DCK=60^{\circ }\text{,}$ то есть треугольник равносторонний. Тогда

$$CD=DK=CK=3\sqrt{3}.$$

Шаг 2. Треугольник $ABK\text{.}$

Биссектриса угла $B$ делит его пополам: $\angle ABK=\angle CBK=30^{\circ }\text{.}$ Так как $AD\parallel BC\text{,}$ накрест лежащие углы дают $\angle AKB=\angle KBC=30^{\circ }\text{.}$

В треугольнике $ABK$ имеем $\angle BAK=120^{\circ }\text{,}$ $\angle ABK=\angle AKB=30^{\circ }\text{,}$ поэтому он равнобедренный: $AB=AK\text{.}$

Противоположные стороны параллелограмма равны: $AB=CD=3\sqrt{3}\text{.}$ Значит, $AK=3\sqrt{3}\text{,}$ и

$$AD=AK+KD=3\sqrt{3}+3\sqrt{3}=6\sqrt{3}.$$

Шаг 3. Диагональ $AC\text{.}$

В треугольнике $ACD\text{:}$ $AD=6\sqrt{3}\text{,}$ $DC=3\sqrt{3}\text{,}$ $\angle ADC=60^{\circ }\text{.}$ По теореме косинусов

$$A{C}^2=A{D}^2+D{C}^2-2\cdot AD\cdot DC\cdot \cos 60^{\circ }=108+27-2\cdot 6\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=135-54=81.$$

Значит, $AC=9\text{.}$

Ответ: $AC=9\text{.}$