Найдите все значения параметра a , при которых система cases _(x-2)(2x^2 - 4x + y + 1) = 2, x + y - 3 = a - a^2 cases имеет хотя бы одно решение.

1. ОДЗ первого уравнения: x - 2 > 0 , x - 2 != 1 , 2x^2 - 4x + y + 1 > 0 . Это равносильно условиям: x > 2 , x != 3 . 2. Преобразуем первое уравнение системы: _(x-2)(2x^2 - 4x + y + 1) = 2 <=> 2x^2 - 4x + y + 1 = (x - 2)^2. 2x^2 - 4x + y + 1 = x^2 - 4x + 4 => y = 3 - x^2. Проверим условие положительности аргумента логарифма при подстановке y = 3 - x^2 : 2x^2 - 4x + (3 - x^2) + 1 = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2. Условие (x - 2)^2 > 0 выполняется при всех x > 2 . 3. Подставим y = 3 - x^2 во второе уравнение системы: x + (3 - x^2) - 3 = a - a^2 <=> x - x^2 = a - a^2. 4. Рассмотрим функцию f(x) = x - x^2 на области определения x in (2; 3) U (3; +inf) . Найдём производную этой функции: f'(x) = 1 - 2x. Производная отрицательна при x > 0,5 , следовательно, функция f(x) строго убывает на луче (2; +inf) . Найдём граничные значения и значение в исключённой точке: - f(2) = 2 - 2^2 = -2 (не достигается); - f(3) = 3 - 3^2 = -6 (исключается); - _(x +inf) f(x) = -inf . Таким образом, областью значений функции f(x) на заданном множестве является объединение интервалов: E(f) = (-inf; -6) U (-6; -2). 5. Система имеет хотя бы одно решение, если уравнение a - a^2 = f(x) имеет хотя бы один корень. Это выполняется, когда значение выражения a - a^2 принадлежит области значений функции f(x) : a - a^2 in (-inf; -6) U (-6; -2). Рассмотрим случай a - a^2 < -2 : a^2 - a - 2 > 0 <=> (a - 2)(a + 1) > 0 <=> a in (-inf; -1) U (2; +inf). Исключим точки, где a - a^2 = -6 : a^2 - a - 6 = 0 <=> (a - 3)(a + 2) = 0 <=> a = 3 или a = -2. Объединяя результаты, получим искомое множество значений параметра: a in (-inf; -2) U (-2; -1) U (2; 3) U (3; +inf). Ответ: (-inf; -2) U (-2; -1) U (2; 3) U (3; +inf) .

(-∞; -2) ∪ (-2; -1) ∪ (2; 3) ∪ (3; +∞)