Найдите все значения параметра a, при которых система
{logx−2(2x2−4x+y+1)=2,x+y−3=a−a2имеет хотя бы одно решение.
1. ОДЗ первого уравнения: x−2>0, x−2=1, 2x2−4x+y+1>0. Это равносильно условиям: x>2, x=3.
2. Преобразуем первое уравнение системы:
logx−2(2x2−4x+y+1)=2⇔2x2−4x+y+1=(x−2)2. 2x2−4x+y+1=x2−4x+4⇒y=3−x2.Проверим условие положительности аргумента логарифма при подстановке y=3−x2:
2x2−4x+(3−x2)+1=x2−4x+4=(x−2)2.Условие (x−2)2>0 выполняется при всех x>2.
3. Подставим y=3−x2 во второе уравнение системы:
x+(3−x2)−3=a−a2⇔x−x2=a−a2.4. Рассмотрим функцию f(x)=x−x2 на области определения x∈(2;3)∪(3;+∞). Найдём производную этой функции:
f′(x)=1−2x.Производная отрицательна при x>0,5, следовательно, функция f(x) строго убывает на луче (2;+∞). Найдём граничные значения и значение в исключённой точке:
Таким образом, областью значений функции f(x) на заданном множестве является объединение интервалов:
E(f)=(−∞;−6)∪(−6;−2).5. Система имеет хотя бы одно решение, если уравнение a−a2=f(x) имеет хотя бы один корень. Это выполняется, когда значение выражения a−a2 принадлежит области значений функции f(x):
a−a2∈(−∞;−6)∪(−6;−2).Рассмотрим случай a−a2<−2:
a2−a−2>0⇔(a−2)(a+1)>0⇔a∈(−∞;−1)∪(2;+∞).Исключим точки, где a−a2=−6:
a2−a−6=0⇔(a−3)(a+2)=0⇔a=3 или a=−2.Объединяя результаты, получим искомое множество значений параметра:
a∈(−∞;−2)∪(−2;−1)∪(2;3)∪(3;+∞).Ответ: (−∞;−2)∪(−2;−1)∪(2;3)∪(3;+∞).
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Ларин