Задача №16735

Решите неравенство

$$\frac{\lg (x^2)-2}{4-3\lg (x^4)}⩾-\frac{1}{2}.$$

ОДЗ: $x\ne 0$ (определены $\lg x^2$ и $\lg x^4$). Также знаменатель $4-3\lg x^4\ne 0\text{.}$

Пусть $t=\lg |x|\text{.}$ Тогда $\lg x^2=2t\text{,}$ $\lg x^4=4t\text{:}$

$$\frac{2t-2}{4-12t}⩾-\frac{1}{2}.$$

Упростим выражение в левой части:

$$\frac{t-1}{2(1-3t)}+\frac{1}{2}⩾0\iff \frac{(t-1)+(1-3t)}{2(1-3t)}⩾0\iff \frac{-2t}{2(1-3t)}⩾0\iff \frac{t}{1-3t}⩽0.$$

Метод интервалов для переменной $t\text{:}$ критические точки $t=0$ (нуль числителя) и $t=\frac{1}{3}$ (нуль знаменателя — выколота).

1. При $t<0\text{:}$ $t<0\text{,}$ $1-3t>0\Rightarrow$ дробь $<0\text{.}$ Подходит.
2. При $t=0\text{:}$ дробь $=0\text{.}$ Подходит.
3. При $0<t<1/3\text{:}$ $t>0\text{,}$ $1-3t>0\Rightarrow$ дробь $>0\text{.}$ Не подходит.
4. При $t>1/3\text{:}$ $t>0\text{,}$ $1-3t<0\Rightarrow$ дробь $<0\text{.}$ Подходит.

Таким образом, $t⩽0$ или $t>\frac{1}{3}\text{.}$

Возвращаемся к переменной $x\text{:}$

1. $t⩽0\iff \lg |x|⩽0\iff 0<|x|⩽1\iff x\in [-1;0)\cup (0;1]\text{.}$

2. $t>\frac{1}{3}\iff \lg |x|>\frac{1}{3}\iff |x|>\sqrt[3]{10}\iff x\in (-\infty ;-\sqrt[3]{10})\cup (\sqrt[3]{10};+\infty )\text{.}$

Ответ: $x\in (-\infty ;-\sqrt[3]{10})\cup [-1;0)\cup (0;1]\cup (\sqrt[3]{10};+\infty )\text{.}$