Задача №16734

Решите неравенство
$\frac{20^x-16\cdot 5^x}{4^x\cdot x-16x-3\cdot 4^x+48}⩽\frac{3}{x-3}\text{.}$

Преобразуем числитель и знаменатель дроби в левой части неравенства.

Числитель:
$20^x-16\cdot 5^x=5^x\cdot 4^x-16\cdot 5^x=5^x(4^x-16)\text{.}$

Знаменатель:
$4^x\cdot x-16x-3\cdot 4^x+48=x(4^x-16)-3(4^x-16)=(4^x-16)(x-3)\text{.}$

При условии $4^x\ne 16\text{,}$ то есть $x\ne 2\text{,}$ левая часть примет вид:

Исходное неравенство примет вид:

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдём нули числителя:
$5^x-3=0\Rightarrow x={\log }_{5}3\text{.}$

Рассмотрим знаки выражения $f(x)=\frac{5^x-3}{x-3}$ на промежутках:

1. Если $x\in (-\infty ;{\log }_{5}3)\text{,}$ то $5^x-3<0$ и $x-3<0\text{,}$ следовательно, $f(x)>0\text{.}$
2. Если $x={\log }_{5}3\text{,}$ то $f(x)=0\text{.}$ Это значение является решением.
3. Если $x\in ({\log }_{5}3;3)\text{,}$ то $5^x-3>0$ и $x-3<0\text{,}$ следовательно, $f(x)<0\text{.}$ Эти значения являются решениями.
4. Если $x>3\text{,}$ то $5^x-3>0$ и $x-3>0\text{,}$ следовательно, $f(x)>0\text{.}$

Учитывая ограничение $x\ne 2$ (так как $2\in ({\log }_{5}3;3)$), исключаем точку $x=2$ из найденного решения.

Ответ: $x\in [{\log }_{5}3;2)\cup (2;3)\text{.}$