Прямая y = -6x + 15 является касательной к графику функции y = x^3 + 9x^2 + 9x - 10 . Найдите абсциссу точки касания.

Дана функция y = x^3 + 9x^2 + 9x - 10 и прямая y = -6x + 15 , являющаяся касательной. Найдём абсциссу точки касания. 1. В точке касания угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в этой точке: y' = 3x^2 + 18x + 9 = -6. Перенесём все слагаемые в левую часть и решим полученное квадратное уравнение: 3x^2 + 18x + 15 = 0 <=> x^2 + 6x + 5 = 0 <=> (x+1)(x+5) = 0. Получаем два возможных значения абсциссы: x = -1 и x = -5 . 2. Проверим, в какой из этих точек значения функции и прямой совпадают (так как касательная имеет общую точку с графиком). Рассмотрим случай x = -1 : y_(функции) = (-1)^3 + 9(-1)^2 + 9(-1) - 10 = -1 + 9 - 9 - 10 = -11 ; y_(прямой) = -6 * (-1) + 15 = 6 + 15 = 21 . Так как -11 != 21 , точка x = -1 не является точкой касания. Рассмотрим случай x = -5 : y_(функции) = (-5)^3 + 9 * 25 + 9 * (-5) - 10 = -125 + 225 - 45 - 10 = 45 ; y_(прямой) = -6 * (-5) + 15 = 30 + 15 = 45 . Значения совпадают, следовательно, x = -5 — искомая абсцисса точки касания. Ответ: -5 .

-5