Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
1
Функции и начала анализа
Ларин
Прямая y=−6x+15 является касательной к графику функции y=x3+9x2+9x−10. Найдите абсциссу точки касания.
Дана функция y=x3+9x2+9x−10 и прямая y=−6x+15, являющаяся касательной. Найдём абсциссу точки касания.
1. В точке касания угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в этой точке:
y′=3x2+18x+9=−6.Перенесём все слагаемые в левую часть и решим полученное квадратное уравнение:
3x2+18x+15=0⇔x2+6x+5=0⇔(x+1)(x+5)=0.Получаем два возможных значения абсциссы: x=−1 и x=−5.
2. Проверим, в какой из этих точек значения функции и прямой совпадают (так как касательная имеет общую точку с графиком).
Рассмотрим случай x=−1:
yфункции=(−1)3+9(−1)2+9(−1)−10=−1+9−9−10=−11;
yпрямой=−6⋅(−1)+15=6+15=21.
Так как −11=21, точка x=−1 не является точкой касания.
Рассмотрим случай x=−5:
yфункции=(−5)3+9⋅25+9⋅(−5)−10=−125+225−45−10=45;
yпрямой=−6⋅(−5)+15=30+15=45.
Значения совпадают, следовательно, x=−5 — искомая абсцисса точки касания.
Ответ: −5.