а) Решите уравнение 2sin(x + (pi)/(3)) = sqrt(6) - 2cos(x + (pi)/(6)) . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [(7pi)/(2);5pi] .

Задача №16730: Уравнения

а) Перенесем слагаемые с переменной в одну сторону:

2 sin (x + \frac{π}{3}) + 2 cos (x + \frac{π}{6}) = 6 .

Заметим, что $x + \frac{π}{3} = (x + \frac{π}{6}) + \frac{π}{6} .$ По формуле синуса суммы:

sin (x + \frac{π}{3}) = sin (x + \frac{π}{6}) cos \frac{π}{6} + cos (x + \frac{π}{6}) sin \frac{π}{6} = \frac{3}{2} sin (x + \frac{π}{6}) + \frac{1}{2} cos (x + \frac{π}{6}) .

Подставим полученное выражение в уравнение:

3 sin (x + \frac{π}{6}) + cos (x + \frac{π}{6}) + 2 cos (x + \frac{π}{6}) = 6,

3 sin (x + \frac{π}{6}) + 3 cos (x + \frac{π}{6}) = 6 .

Разделим обе части на $(3)^{2} + 3^{2} = 12 = 23 :$

\frac{1}{2} sin (x + \frac{π}{6}) + \frac{3}{2} cos (x + \frac{π}{6}) = \frac{6}{2 3} = \frac{2}{2} .

Левая часть по формуле синуса суммы равна $sin (x + \frac{π}{6} + \frac{π}{3}) = sin (x + \frac{π}{2}) = cos x .$ Получаем:

cos x = \frac{2}{2}, x = \pm \frac{π}{4} + 2 π n, где n \in Z .

б) Отберем корни на отрезке $[\frac{7 π}{2}; 5 π] .$ Заметим, что $\frac{7 π}{2} = \frac{14 π}{4},$ $5 π = \frac{20 π}{4} .$

1. Для серии $x = \frac{π}{4} + 2 π n :$

\frac{14 π}{4} ⩽ \frac{π}{4} + 2 π n ⩽ \frac{20 π}{4} \Rightarrow \frac{13 π}{4} ⩽ 2 π n ⩽ \frac{19 π}{4} \Rightarrow \frac{13}{8} ⩽ n ⩽ \frac{19}{8} .

Подходит $n = 2,$ тогда $x = \frac{π}{4} + 4 π = \frac{17 π}{4} .$

2. Для серии $x = - \frac{π}{4} + 2 π n :$

\frac{14 π}{4} ⩽ - \frac{π}{4} + 2 π n ⩽ \frac{20 π}{4} \Rightarrow \frac{15 π}{4} ⩽ 2 π n ⩽ \frac{21 π}{4} \Rightarrow \frac{15}{8} ⩽ n ⩽ \frac{21}{8} .

Подходит $n = 2,$ тогда $x = - \frac{π}{4} + 4 π = \frac{15 π}{4} .$

Ответ:

а) $\pm \frac{π}{4} + 2 π n, n \in Z$

б) $\frac{15 π}{4}; \frac{17 π}{4}$