а) Решите уравнение 2sin(x + (pi)/(3)) = sqrt(6) - 2cos(x + (pi)/(6)) . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [(7pi)/(2);5pi] .

а) Перенесем слагаемые с переменной в одну сторону: 2sin(x + (pi)/(3)) + 2cos(x + (pi)/(6)) = sqrt(6). Заметим, что x + (pi)/(3) = (x + (pi)/(6)) + (pi)/(6) . По формуле синуса суммы: sin(x + (pi)/(3)) = sin(x + (pi)/(6))cos(pi)/(6) + cos(x + (pi)/(6))sin(pi)/(6) = (sqrt(3))/(2)sin(x + (pi)/(6)) + (1)/(2)cos(x + (pi)/(6)). Подставим полученное выражение в уравнение: sqrt(3)sin(x + (pi)/(6)) + cos(x + (pi)/(6)) + 2cos(x + (pi)/(6)) = sqrt(6), sqrt(3)sin(x + (pi)/(6)) + 3cos(x + (pi)/(6)) = sqrt(6). Разделим обе части на sqrt((3)^2 + 3^2) = sqrt(12) = 2sqrt(3) : (1)/(2)sin(x + (pi)/(6)) + (sqrt(3))/(2)cos(x + (pi)/(6)) = (sqrt(6))/(2sqrt(3)) = (sqrt(2))/(2). Левая часть по формуле синуса суммы равна sin(x + (pi)/(6) + (pi)/(3)) = sin(x + (pi)/(2)) = cos x . Получаем: cos x = (sqrt(2))/(2), x = +- (pi)/(4) + 2pi n, где n in Z. б) Отберем корни на отрезке [(7pi)/(2);5pi] . Заметим, что (7pi)/(2) = (14pi)/(4) , 5pi = (20pi)/(4) . 1. Для серии x = (pi)/(4) + 2pi n : (14pi)/(4) (pi)/(4) + 2pi n (20pi)/(4) => (13pi)/(4) 2pi n (19pi)/(4) => (13)/(8) n (19)/(8). Подходит n = 2 , тогда x = (pi)/(4) + 4pi = (17pi)/(4) . 2. Для серии x = -(pi)/(4) + 2pi n : (14pi)/(4) -(pi)/(4) + 2pi n (20pi)/(4) => (15pi)/(4) 2pi n (21pi)/(4) => (15)/(8) n (21)/(8). Подходит n = 2 , тогда x = -(pi)/(4) + 4pi = (15pi)/(4) . Ответ: а) +-(pi)/(4) + 2pi n, n in Z б) (15pi)/(4); (17pi)/(4)

15π/4; 17π/4