В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 15, а боковое ребро SA равно 23. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = SK = 7 . Плоскость alpha перпендикулярна плоскости ABC и содержит точки M и K . а) Докажите, что плоскость alpha содержит точку C . б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью alpha .

Введём систему координат с началом в центре основания O , оси Ox и Oy параллельны сторонам основания: A( -(15)/(2); -(15)/(2); 0 ), B( (15)/(2); -(15)/(2); 0 ), C( (15)/(2); (15)/(2); 0 ), D( -(15)/(2); (15)/(2); 0 ), S(0; 0; h). Найдём высоту пирамиды h . AO — половина диагонали квадрата: AO = (15sqrt(2))/(2), AO^2 = 112,5. По теореме Пифагора в SOA : h^2 = SA^2 - AO^2 = 529 - 112,5 = 416,5 = (833)/(2). Координаты M (точка на ребре AB , такая что AM = 7 ): M = A + (7)/(15)(B - A) = ( -(1)/(2); -(15)/(2); 0 ). Координаты K (точка на ребре SB , такая что SK = 7 , при этом SB = 23 ): K = S + (7)/(23)(B - S) = ( (105)/(46); -(105)/(46); (16h)/(23) ). а) Проекция K на основание имеет координаты: K' = ( (105)/(46); -(105)/(46); 0 ). Рассмотрим векторы на плоскости ABC : MK' = ( (64)/(23); (120)/(23); 0 ) = (1)/(23)(64; 120; 0); MC = (8; 15; 0). Проверим коллинеарность векторов: (64)/(8 * 23) = (8)/(23), (120)/(15 * 23) = (8)/(23). Равенство отношений координат выполнено, значит точки M , K' и C лежат на одной прямой. Плоскость alpha перпендикулярна ABC и содержит точки M и K , следовательно, она содержит вертикальный «след» прямой MK' . Так как C лежит на прямой MK' , точка C принадлежит плоскости alpha . Что и требовалось доказать. б) Проверим, что плоскость alpha не пересекает другие рёбра пирамиды кроме AB (в точке M ), SB (в точке K ) и BC (в точке C ). Анализ параметрических уравнений рёбер показывает, что сечение — треугольник MKC . Длина основания MC : MC = sqrt(8^2 + 15^2) = sqrt(289) = 17. Высота треугольника, опущенная из вершины K на прямую MC , равна аппликате точки K (так как alpha ABC и K' in MC ): h_K = (16h)/(23) = (16)/(23)sqrt((833)/(2)) = (16 * 7sqrt(17))/(23sqrt(2)) = (56sqrt(34))/(23). Площадь сечения: S_(сеч) = (1)/(2) * 17 * (56sqrt(34))/(23) = (476sqrt(34))/(23). Ответ: а) доказано б) (476sqrt(34))/(23)

476√34/23