Задача №16727

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна 15, а боковое ребро $SA$ равно 23. На рёбрах $AB$ и $SB$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, причём $AM=SK=7\text{.}$ Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $ABC$ и содержит точки $M$ и $K\text{.}$

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ содержит точку $C\text{.}$
б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha \text{.}$

Введём систему координат с началом в центре основания $O\text{,}$ оси $Ox$ и $Oy$ параллельны сторонам основания:

$$A\left(-\frac{15}{2};-\frac{15}{2};0\right),B\left(\frac{15}{2};-\frac{15}{2};0\right),C\left(\frac{15}{2};\frac{15}{2};0\right),D\left(-\frac{15}{2};\frac{15}{2};0\right),S(0;0;h).$$

Найдём высоту пирамиды $h\text{.}$ $AO$ — половина диагонали квадрата:

$$AO=\frac{15\sqrt{2}}{2},A{O}^2=112,5.$$

По теореме Пифагора в $△SOA\text{:}$

$$h^2=S{A}^2-A{O}^2=529-112,5=416,5=\frac{833}{2}.$$

Координаты $M$ (точка на ребре $AB\text{,}$ такая что $AM=7$):

$$M=A+\frac{7}{15}(B-A)=\left(-\frac{1}{2};-\frac{15}{2};0\right).$$

Координаты $K$ (точка на ребре $SB\text{,}$ такая что $SK=7\text{,}$ при этом $SB=23$):

$$K=S+\frac{7}{23}(B-S)=\left(\frac{105}{46};-\frac{105}{46};\frac{16h}{23}\right).$$

а) Проекция $K$ на основание имеет координаты:

$$K^{\prime }=\left(\frac{105}{46};-\frac{105}{46};0\right).$$

Рассмотрим векторы на плоскости $ABC\text{:}$

$$\overrightarrow{M{K}^{\prime }}=\left(\frac{64}{23};\frac{120}{23};0\right)=\frac{1}{23}(64;120;0);$$ $$\overrightarrow{MC}=(8;15;0).$$

Проверим коллинеарность векторов:

$$\frac{64}{8\cdot 23}=\frac{8}{23},\frac{120}{15\cdot 23}=\frac{8}{23}.$$

Равенство отношений координат выполнено, значит точки $M\text{,}$ $K^{\prime }$ и $C$ лежат на одной прямой.

Плоскость $\alpha$ перпендикулярна $ABC$ и содержит точки $M$ и $K\text{,}$ следовательно, она содержит вертикальный «след» прямой $M{K}^{\prime }\text{.}$ Так как $C$ лежит на прямой $M{K}^{\prime }\text{,}$ точка $C$ принадлежит плоскости $\alpha \text{.}$ Что и требовалось доказать.

б) Проверим, что плоскость $\alpha$ не пересекает другие рёбра пирамиды кроме $AB$ (в точке $M$), $SB$ (в точке $K$) и $BC$ (в точке $C$). Анализ параметрических уравнений рёбер показывает, что сечение — треугольник $MKC\text{.}$

Длина основания $MC\text{:}$

$$MC=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17.$$

Высота треугольника, опущенная из вершины $K$ на прямую $MC\text{,}$ равна аппликате точки $K$ (так как $\alpha \perp ABC$ и $K^{\prime }\in MC$):

$$h_K=\frac{16h}{23}=\frac{16}{23}\sqrt{\frac{833}{2}}=\frac{16\cdot 7\sqrt{17}}{23\sqrt{2}}=\frac{56\sqrt{34}}{23}.$$

Площадь сечения:

$$S_{\text{сеч}}=\frac{1}{2}\cdot 17\cdot \frac{56\sqrt{34}}{23}=\frac{476\sqrt{34}}{23}.$$

Ответ:

а) доказано

б) $\frac{476\sqrt{34}}{23}$