Задача №16726

Пусть дан параллелограмм $ABCD\text{,}$ где $AB$ — меньшая сторона. Точка $E$ лежит на стороне $AD$ и является точкой пересечения биссектрис углов $B$ и $C\text{.}$

По условию $AB=5\text{,}$ а $\cos \alpha =\frac{7}{25}\text{,}$ где $\alpha$ — острый угол параллелограмма (например, $\angle BAD$).

1. Свойство биссектрис, опирающихся на параллельные стороны.

Прямые $AD$ и $BC$ параллельны. Так как $BE$ — биссектриса угла $\angle ABC\text{,}$ то $\angle ABE=\angle EBC\text{.}$ С другой стороны, $\angle BEA=\angle EBC$ как накрест лежащие при секущей $BE$ к параллельным прямым $BC$ и $AD\text{.}$ Значит,
$\angle ABE=\angle BEA\text{,}$
и треугольник $ABE$ равнобедренный: $AE=AB=5\text{.}$

Аналогично, из биссектрисы $CE$ угла $\angle BCD$ следует, что треугольник $DCE$ равнобедренный: $ED=DC=AB=5\text{.}$

Следовательно, $AD=AE+ED=5+5=10\text{.}$

2. Стороны треугольника $BEC\text{.}$

Сторона $BC=AD=10\text{,}$ так как противоположные стороны параллелограмма равны.

В равнобедренном треугольнике $ABE$ со сторонами $AB=AE=5$ и углом $\angle BAE=\alpha$ по теореме косинусов:

$$B{E}^2=A{B}^2+A{E}^2-2\cdot AB\cdot AE\cdot \cos \alpha =25+25-50\cdot \frac{7}{25}=50-14=36.$$

Следовательно, $BE=6\text{.}$

В равнобедренном треугольнике $DCE$ со сторонами $DC=DE=5$ и углом $\angle CDE=180^{\circ }-\alpha$ (соседний угол параллелограмма):

$$C{E}^2=D{C}^2+D{E}^2-2\cdot DC\cdot DE\cdot \cos (180^{\circ }-\alpha )=25+25+50\cdot \frac{7}{25}=50+14=64.$$

Следовательно, $CE=8\text{.}$

3. Радиус вписанной окружности.

Треугольник $BEC$ имеет стороны $BE=6\text{,}$ $CE=8\text{,}$ $BC=10\text{.}$ Заметим, что выполняется теорема Пифагора:
$6^2+8^2=36+64=100=10^2\text{.}$
Значит, треугольник прямоугольный с гипотенузой $BC\text{.}$

Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами $a\text{,}$ $b$ и гипотенузой $c$ вычисляется по формуле:

$$r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{6+8-10}{2}=2.$$

Ответ: 2.