Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник BEC , если косинус острого угла параллелограмма равен (7)/(25) .

Пусть дан параллелограмм ABCD , где AB — меньшая сторона. Точка E лежит на стороне AD и является точкой пересечения биссектрис углов B и C . По условию AB = 5 , а cos alpha = (7)/(25) , где alpha — острый угол параллелограмма (например, BAD ). 1. Свойство биссектрис, опирающихся на параллельные стороны. Прямые AD и BC параллельны. Так как BE — биссектриса угла ABC , то ABE = EBC . С другой стороны, BEA = EBC как накрест лежащие при секущей BE к параллельным прямым BC и AD . Значит, ABE = BEA , и треугольник ABE равнобедренный: AE = AB = 5 . Аналогично, из биссектрисы CE угла BCD следует, что треугольник DCE равнобедренный: ED = DC = AB = 5 . Следовательно, AD = AE + ED = 5 + 5 = 10 . 2. Стороны треугольника BEC . Сторона BC = AD = 10 , так как противоположные стороны параллелограмма равны. В равнобедренном треугольнике ABE со сторонами AB = AE = 5 и углом BAE = alpha по теореме косинусов: BE^2 = AB^2 + AE^2 - 2 * AB * AE * cos alpha = 25 + 25 - 50 * (7)/(25) = 50 - 14 = 36. Следовательно, BE = 6 . В равнобедренном треугольнике DCE со сторонами DC = DE = 5 и углом CDE = 180^ - alpha (соседний угол параллелограмма): CE^2 = DC^2 + DE^2 - 2 * DC * DE * cos(180^ - alpha) = 25 + 25 + 50 * (7)/(25) = 50 + 14 = 64. Следовательно, CE = 8 . 3. Радиус вписанной окружности. Треугольник BEC имеет стороны BE = 6 , CE = 8 , BC = 10 . Заметим, что выполняется теорема Пифагора: 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 . Значит, треугольник прямоугольный с гипотенузой BC . Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами a , b и гипотенузой c вычисляется по формуле: r = (a + b - c)/(2) = (6 + 8 - 10)/(2) = 2. Ответ: 2.

2